作者：胖胖的小橘
解析數論一個，幾何一個，模形式一個。
還能怎麼答？
李東在臺上看了看下面。
他嘴角微微地翹了一下。
“三個答案，都對。”
“但是都不徹底。”
“第一位學長的答案告訴你哪些n有解、哪些n沒解。”
“第二位同學的答案告訴你解的總數大概是πN。”
“最後這一位同學的答案告訴你，這東西最後能落到一個生成函式上頭去。”
“可是有一件事，他們三個人都沒答。”
他停頓了一下。
“對一個具體的n，它到底有幾組解？”
“精確的幾組。”
“解數到底是怎麼決定的？”
“既不是素因子分解的'有/無'。”
“也不是面積估算的'大概'。”
“當然更不是θ2這一個物件的唤y描述。”
“是一個精確到每一個n的閉形式的公式。”
臺下所有人此時都安靜的聽著。
他們這才意識到。
他們剛才答的三條路，都沒碰到這個核心。
有一種“我剛才答得很對，但是好像和你問的不是一回事“的尷尬感。
李東轉過身，在黑板上寫了一行字。
【r2(n)= 4·( d1(n)– d3(n))】
然後他在下面一行接著寫。
【d1(n)=#{ d | n， d≡ 1 (mod 4)}】
【d3(n)=#{ d | n， d≡ 3 (mod 4)}】
他放下粉筆，轉過身。
“這是雅可比1828年給出的一個精確公式。”
“對每一個n，它有幾組解，看它的因子裡頭模4餘1的有幾個、模4餘3的有幾個，做一個差，再乘以4。”
“完事。”
臺下“嘶”地一聲。
有幾個研究生忍不住低聲嘀咕了。
“這……這是怎麼寫出來的？”
“這兩件事怎麼扯上的？”
李東笑了一下。
他抬起手，在黑板上寫了一組新的符號。
【Z[i]={ a + bi : a， b∈Z}】
“高斯整數。”
“a加b乘i。”
“a和b都是整數。”
“在這一個新的數系裡頭，你做一件事。”
“你把一個整數n，展開成它在Z[i]裡的素因子分解。”
他在黑板上畫了一個分支。
“在普通的整數里，5是素數。”
“可是在Z[i]裡，5 =(2 + i)(2– i)。”
“它分裂了。”
“3呢？在Z[i]裡，它還是素數，它不分裂。”
“7呢？也不分裂。”
“為什麼有的素數分裂，有的不分裂？”
他看了一眼章衡。
章衡的眼睛已經發亮了，然後大聲說道。
“模4餘1的分裂。”
“模4餘3的不分裂。”
李東點了點頭。
“所以r2(n)其實問的是什麼？”
“問的是把n在Z[i]裡頭分解成兩個高斯整數的乘積，有多少種分法。”
“這是高斯整數里頭的'除數函式'。”
“換一個數系，這個問題從'數解'變成了'數除數'。”
“換一個視角，這個問題就從'代數變換的組合問題'，變成了'數論裡頭熟悉的因子計數問題'。”
他停頓了一下，指了指邱嘉源
“這位同學，你剛才那一個面積估算說r2(n)的平均階是π。”
“你知道為什麼是π嗎？”
邱嘉源有些猶豫的說道。
“圓的面積公式。”
“是。”
李東搖了搖頭。
“也不是。”
“圓的面積公式，是一個表象。”
“你把這個解數函式r2(n)做一個 Dirichlet級數。”
李東在黑板上又寫了一行。
【Σ r2(n)/ n^s = 4·ζ(s)· L(s，χ)】
“它在解析上分裂成兩個東西的乘積。”
“一個，是黎曼ζ函式。”
“另一個，是模4那一個非平凡特徵的 Dirichlet L函式。”
“乘積的第一項，在s=1處有極點，留數等於1。”
“乘積的第二項，在s=1處的值，是π/4。”
“兩個一乘，就出了那一個π。”
“這才是為什麼平均階是π的原因。”
“那一個π，不是從圓裡頭掉出來的。”
“是從一個L函數里頭掉出來的。”
臺下的人現在已經懵了。
邱嘉源那一口氣沒緩上來。
他剛才答的“圓的面積”。
是這個L函式在s=1那一頭留下來的一個偶然事件。
李東轉過身。
“我們再退一步。”
“剛才那一個L(s，χ)是什麼？”
“它是把模4那個簡簡單單的奇偶性，翻譯成了一個解析物件。”
“這一檔東西，有一個名字。”
“它叫……自守L函式最初的、最最最低維的一個例子。”
“GL(1)上的自守L函式。”
他到此刻，一句“朗蘭茲”都沒提。
但是在場的研究生們，聽到這兒，臉色都已經變了。
他們意識到了。
這個看起來像是“國小生數題數解”的小遊戲。
是一個19世紀的數學家用最樸素的方式，觸碰到了20世紀最龐大的那一座山的山腳。
而這一座山，剛剛由這一位面前的少年，被命名了一塊新的山頭。
李東在黑板上，把那兩個公式之間畫了一根簡單的箭頭。
然後他看著臺下。
“我說這一節課不講朗蘭茲。”
“我沒騙你們。”
“我沒講。”
他笑了一下。
“但你們剛才聽見的每一個字，其實都在講。”
“問題沒變。”
“a2+ b2= n，解多少組。”
“答案在變。”
“代數視角告訴你，要換數系。”
“幾何視角告訴你，平均階是π。”
“分析視角告訴你，π來自於一個L函式。”
“它們其實是同一件事。”
“同一件事，只是被不同的人，用不同的語言，說了三遍。”
臺下安靜極了。
李東這個時候，語氣慢了下來。
“我以前有一位高中老師。”
“教我數學的。”
“他和我說過一句話。”
“原話當然我記不太清了，我就大概說說意思。”
“幾何也好，代數也好，分析也好，數論也好，組合也好。”
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