作者：胖胖的小橘
“這些天才，就不應該看年紀。”
“對，就看東西。”
就在這一片議論聲裡頭。
教室前門“咔嗒”一聲打開了。
沈維院士先走了進來，身後跟著的就是李東。
五百多雙眼睛，齊刷刷地往講臺那邊看。
李東一身簡簡單單的深色衛衣加牛仔褲。
他朝沈院士點了點頭，然後一個人走上了講臺。
他什麼東西也沒帶。
就這麼往講桌前一站。
朝著下面的同學們看了一眼。
然後，他笑了一下。
“大家下午好。”
“我是李東。”
“今天來給大家上一節小課。”
他這一句話語氣很平。
平得像是大學裡某個普通老師在上一堂普通的專業課。
“你們以為我要講朗蘭茲綱領？”
他語氣一拐。
“我偏不。”
教室裡頭一陣笑。
“其實我也不太想講那一檔的東西。”
“因為……以後各位的老師會給大家講了，畢竟上了教材嘛。”
下面的學生又是一陣笑。
李東也沒管他們繼續說道
“今天我想和大家玩一個小遊戲。”
“遊戲？”
臺下有人忍不住小聲地嘀咕了一句。
李東轉過身，在背後的黑板上一筆一劃地寫下了一行字。
【對每個正整數n，數一下：有多少對整數(a， b)，使得 a2+ b2= n？】
他寫完，轉過身來。
“很簡單一個問題啊？”
“國小生都會做。”
“那咱們就從國小生那一檔做起。”
他在黑板上開始往下列。
“n = 1。”
“a2+ b2= 1。”
“答案，(±1， 0)和(0，±1)，四組。”
“n = 2。”
“a2+ b2= 2。”
“(±1，±1)，四組。”
“n = 3呢？”
臺下一片低聲嘀咕。
李東笑了一下。
“零組。”
“為什麼？平方數mod 4，只能是0或1，加起來只能是0、1、2。”
“所以3不行。”
“n = 4，四組。n = 5，八組。n = 6，零組。n = 7，零組。n = 10，八組。”
他每報一個數，臺下記筆記的速度就越來越快。
李東把這一串記完，他轉過身。
“找規律。”
“哪一位起來給我說一說？”
臺下一陣安靜。
然後，後排坐著一個戴眼鏡的男生舉起了手。
李東一指。
“這位同學，起來。”
那個男生站起來。
後排坐著的幾個復大數院的本科生，一下子就轉過頭來看他了。
“靠，章衡也來了？”
章衡。
復大數院在讀博士，博三。
本科燕大，IMO 2018年銀牌。
現在跟著復大的一位長江學者做解析數論方向。
他整個人在數院裡頭，是屬於“導師下學期發論文掛二作”的那一檔穩的研究生。
此時的章衡站起來，清了清嗓子。
“這一組數，我感覺……”
“應該是和n本身的素因子分解有關。”
“3 mod 4的素數，如果在n裡頭出現奇數次，那就沒有解。”
“如果都是偶數次，就能寫。”
“再具體的次數，我得算一下。”
他答得不算慢。
這是搞解析數論的教材標準答案。
李東笑了一下，也沒說對不對。
“答得很標準。”
“再來一位。”
臺下又有一隻手舉了起來。
這一回是更後面靠門口的那一片。
一個大概二十一、二歲，圓臉，看著很活潑的男生。
“邱嘉源。”
旁邊人立馬就有人嘀咕。
“水木的那一位？”
“對，IMO 22年金牌，大三。”
“陶哲軒前幾個月還轉發過他一篇隨手寫的小筆記呢。”
邱嘉源站起來。
“我不從素因子分解走。”
“我從幾何走。”
“你這個問題，本質是問平面上以原點為中心、半徑為√n的那一圈圓周上，落了多少個整點。”
“如果把所有n的解加起來，那就是平面上到原點距離不超過√N的整點總數。”
“按面積估算，是πN左右。”
“高斯做圓內整點的時候，給出過這個估計。”
李東點了點頭。
“嗯，幾何視角，正確。”
“還有麼？”
臺下又有一隻手慢吞吞地舉了起來。
這一回是靠牆最邊上一個戴著鴨舌帽的女生。
李東朝她示意。
“這位同學。”
她站起來，聲音不大。
“我從生成函式走。”
“考慮θ函式θ(q)=Σ q^(n2)。”
“r2(n)，就是θ(q)2在 q^n這一項上的係數。”
“所以這個問題，本質上是研究θ2這一個物件。”
“……我只能走到這一步。”
她坐了下去。
李東在臺上“哎”了一聲。
“這一位同學，已經站在下一站的門口了。”
他衝她點了點頭。
“你這個方向，是對的。”
“只不過它通向的，不是這一道題的答案。”
“它通向的，是雅可比、克萊因、希爾伯特那一些人想了一輩子的另一座山。”
“咱們今天先把這一座山過了，再談下一座。”
這句一出來。
臺下那一群研究生。
有幾個突然就坐直了。
他們聽出來了。
李東說的“下一座山“。
就是模形式。
三位答完。
教室裡頭反而更安靜了。
按理說，這三個答案已經把這道題“三個最常用的方向“都答全了。
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