作者：橘子汽水西瓜味
類似地，將右集取｛1，1/2，1/4……｝，或者｛1，1/9，1/27……｝等等，同樣可以得到無窮小數，存在無窮多種不同的選取方法。
全體實數、無窮大數ω、無窮小數ε，它們都在同一天誕生。
但第N日並不是終點，只是一個開始。
在創造無限大數ω的下一日，誕生了比無限大數更大的數。
ω+1=（｛ω，2，3……｝丨空集）
它可以化簡爲
ω+1≡（{ω}丨空集）
這個數比ω更大，它在數軸上位於ω這個數的右側。
以及一個比無限大數ω小，卻又大於所有整數的數。
ω-1≡（{1，2，3……}丨{ω}）
這個新數在普通的集合論公理規則定義的超窮序數中是不存在的。
在這套全新的規則裏，無限大數可以像是普通的數一樣隨意進行加減咚恪�
通過這種方法，可以得到無窮多個小於無窮大ω的無限大數。
ω-2≡（{1，2……}丨{ω-1}）
ω-3≡（{1，2……}丨{ω-2}）
它們就是康威所說的不及玄極的無窮數。
時間繼續向前流逝，又過去N日以後，到達了第2N日。
這一日誕生了2ω=ω+ω=（{ω+1，ω+2，……}丨空集）
以及ω+ε，ω-ε這類數字。
每一個數本質上都是一對數集，每一個實數都能在無限次計算後得到精確數值。
ω和ε都是由可數無窮集合進行定義的數。
想要計算出這兩個數的和與差，需要進行2次可數無窮計算。
“原來如此。”
“石板上所說的第幾日實際上指的是第幾次計算步驟。”
“ω這個無限大數需要ω次計算步驟才能得到，ε這個無限小數同樣需要ω次計算步驟才能得到。”
所以這些由兩個無窮數構成的數字都是在第2N日纔會誕生。
在這一日還誕生了π+ε，π-ε等等存在於兩個實數的縫隙之間，與標準的實數相差一個無窮小量的超實數。
李恆蹲下身體，從沙灘上抓起一把白色沙子，看着它們從指縫之間緩緩落下。
“我們現在所在的世界是在0～1之間的實無窮小區域，準確地說，是在數軸上0.99……到1之間的區域。”
“物體直觀的體型大小不重要，重要的是它們包含的信息量。”
“在量子比特海洋中，具有不同最小空間尺度的宇宙天差地別，同等大小的物體容納的信息量天差地別。”
“無窮大和無窮小是同等的複雜，具備同等強大的力量。”
“康威給每一個數字賦予了一個精確的生日，它表示了想要具體計算出一個數的困難程度。”
“有理數在有限的時間內誕生，它們可以在有限的計算步驟後得到精確結果。”
“實數在第N日誕生，這些實數幾乎都是不可計算的數。”
“但這種不可計算只是對於有限的人類而言，任意實數都能用ω次計算得到精確的結果。”
“不過，有很多數字比單個實數更復雜。”
“比如兩個不可計算數之和，就需要經過兩輪ω次計算才能得到精確結果。”
“在超實數域中，數軸上還有着無窮多個不能用ω次計算得到精確結果的數，也就是那些在N日之後才誕生的數。”
“這個隱藏在0.99……和1之間的無窮小世界的空間尺度是以實無窮小ε計量的，任意空間區域裏都容納了無限的信息量。”
“生靈在這裏的每一次邁步、每一次思考，都必須完成無窮次計算。”
“沒有一具容納着無窮力量的身體，在這個世界裏連存在都做不到。”
在無法超脫時間複製洪流，受制於熱力學第二定律的物質宇宙中，每一個比特信息量的變化都存在E=kTln2的等式關係。
這一點在絕對零度的無限世界中不再成立，但這不意味着“邉印薄ⅰ白兓本蜎]有消耗了。
邉优c變化的本質是複製，是無中生有的力量創造的新事物。
一個存在於實數間隙之中的實無窮小世界，這裏的空間是由那些在N日以後才誕生的超實數構成的。
能在這裏存在的事物，至少也擁有無窮的力量，無論是沙灘上的白沙，還是海邊的燒烤架。
“聽起來似乎和之前牛頓與萊布尼茨所在的無窮小世界差不多？”
阿基里斯眨了眨眼睛回道。
但她心裏知道，兩個世界其實是不一樣的。
之前的那個無窮小世界是潛無窮小世界。
構成那裏空間的數是簡單的無限，是那些可以被壓縮，算法複雜度有限的簡單的無理數。
這裏的空間卻是由不可被壓縮、不可具體認知的超實數構成的。
無論是包含了ω還是包含了ε的數，它們的複雜度都不會比實數中的那些不可計算數更低。
所以，她現在看到的陽光、沙灘和大海都只是她眼中的錯覺，是她那顆簡單的大腦與它承載的孱弱思維所能認知的幻夢。
她現在能站在這片沙灘上也不是因爲什麼星球的引力作用，而是源於那些她根本無法認知的規則。
這裏比她之前所在的那個混沌世界還要更奇詭，更隨機，更未知。
她能在這個世界裏活着，只是因爲胸前這臺二星芝諾機賦予她的不可數無限的力量。
這份力量過濾了這個世界裏無處不在的，有着無限重量的沉重信息。
“還是有很大差別的。”
“在之前那個潛無窮小世界中，即使每一寸空間內都藏着無限的信息量和能量，但那裏的物體依舊只是屬於可數無限的範圍。”
“但在這個比實數更稠密的超實數世界裏，任意小的空間裏都藏着不可數無限的信息量。”
劉維爾數集是個零測集，在數軸上佔據了長度爲零的區域，但卻是能與實數一一對應的不可數無限集合。
與此類似的，在這個超實數世界裏的一粒沙子、一滴海水、一粒灰塵，都能與實數集一一對應。
雖然構成這個世界的基本元素仍舊只是可數無限的數，但在這裏的一切物體，無論直觀的體型是大是小，體內都容納着不可數無限數量的基本元素。
“零測集？”
阿基里斯立刻反應了過來。
“如果引入了無限大數和無限小數，這種結論應該就不準確了吧？”
“仔細想想就覺得很奇怪，概率爲0的事件不一定不會發生，這種說法聽起來就覺得有些不對勁。”
“還有，有限、可數無限、不可數無限，彼此之間天差地別，卻都在實數軸上佔據了長度爲0的區域。”
“我覺得這些說法都很奇怪。”
“在普通的數學體系中不能使用n/∞=0這個等式，因爲會得到∞×0可以等於任意實數的荒謬結果。”
“所以我覺得把這些不同的事件統一稱作概率爲零也不準確。”
李恆點點頭道：
“說得沒錯。”
第一種情形，在一個無限不循環的無理數中找到一個特定的有限數，概率爲零。
第二種情形，在一個由全體可計算數構成的集合中找到某一個特定的有限數，概率爲零。
第三種情形，尋找一個特定的有限數，但將尋找的範圍擴大到由全體實數構成的實數軸，結果還是概率爲零。
明明事件實現的難度應該完全不同，卻把這三種情形統一稱作概率爲零。
李恆尋找最初那個阿基里斯所在的小世界就比上述這三種情形都要困難得多。
就算是不可數無限的力量都不足以找到那個被隱藏起來的小世界。
信息量最初的定義源於對驚奇度的衡量。
一個事件發生的可能性越低，包含的信息量就越多。
反過來也可以說，想要實現某一個特定事件，需要的信息量越多，事件發生的概率就越低。
在超實數域中，引入了ε和ω這兩個數以後，在一個無理數中找到某一個特定有限數的概率不再是0，而是實無窮小。
第729章 神上神
無限領域的力量最本質的是公理規則，其中最核心的是每一個無限集合都包含的無窮公理。
除此之外，無限領域的力量在具體的表現上很樸實無華，幾乎都表現爲操控事件發生的概率。
還有五十億年壽命的太陽有概率在下一瞬就熄滅？那就熄滅它。
直徑十萬光年的銀河系有可能突然跳到萬億光年外的不可觀測宇宙？那就實現它。
看起來就和心想事成、俺尋思之力一樣。
但這些事件並不是隨便想想就能憑空實現的，“思考”、“想象”也需要物質基礎支撐，沒有超越物質的心靈。
想要實現那些在正常狀況下難以發生的小概率事件，在有限的物質宇宙中必須要消耗這些事件對應的能量。
一切亂七八糟花裏胡哨的能力，什麼矢量操控、空間挪移、時間停止、掌握四大基本力之類的。
通通都可以歸結爲無限非概率引擎的能力，源於量子比特無限複製，創造出無窮平行宇宙與時間長河的力量。
這種操控可能性的引擎借用了宇宙真空本身的力量，利用永恆暴脹的無盡能量讓那些小概率事件化爲現實。
計算概率需要用到樣本空間的概念，它是由所有可能的結果構成的集合。
以簡單的拋硬幣爲例，拋擲十次硬幣，共有2^10種不同的可能性。
每一個結果出現的概率爲1/2^10，包含10比特的信息量。
由這些不同的拋硬幣結果構成的集合就是一個樣本空間。
有限的物質宇宙中事件的概率，無論是太陽突然熄滅，還是銀河系突然跳躍到可觀測宇宙之外，這些事件發生的可能性都是0～1之間的有理數。
由概率與信息的關係可知，這些事件包含的信息量都是有限的。
因此，有限宇宙中所有可能的事件構成的樣本空間就是一個可數無限集合。
到了無限領域，無限非概率引擎進一步蛻變，成爲了更強大的超圖靈機。
這些擁有着神之力量的超級計算機的能力不再侷限於概率在實數範圍內的事件。
它們讓那些有限的凡人永遠不可能實現，發生概率爲實無窮小的事件也可以成爲現實。
同時，因爲事件發生的可能性達到了實無窮小，每一個事件包含的信息量就變成了無限大數。
由所有可能的事件構成的樣本空間也變成了更龐大的不可數無限集合。
這種涉及到無限領域的概率在原本的實數體系中是難以精確計算的。
實數里沒有無限大數和無限小數，只能把這些有限的凡人永遠不可能實現的神蹟統一稱作概率爲零。
“微積分中也有高階無窮小，把實數體系中處理的潛無窮小的變量換成超實數體系中實無窮小的數也是一樣的道理。”
“在康威用全新的規則創造的數學宇宙中，無限大數和無限小數就像是普通的實數一樣，在數軸上有序分佈，可以彼此比較大小，也可以進行四則咚恪！�
“發生概率同爲實無窮小的事件，彼此也包含着不同的信息量。”
李恆伸手敲了敲黑色的大石頭，就像是面對着一塊黑板一樣，用白色的粉筆在上面寫下了兩個數。
ε=（{0}丨{1，1/2，1/3……}）
ω=（{1，2，3……}丨空集）
“無限小數ε顯然就是無限大數ω的倒數，ε×ω＝1。”
“不僅如此，康威在第N日以後又繼續創造出了許多個大於所有整數，卻又不及玄極的數。”
“比如ω-1，ω-2等等。”