作者：橘子汽水西瓜味
“這些無限大數小於ω，因此它們的倒數是比ε更大的實無窮小，在數軸上位於ε的右側。”
“在這套規則定義的數學宇宙中，有許多事件的可能性是無窮小，但又比普通的無窮小概率更大。”
『康威語諸數：多產以乘。』
『以一數之一部與另一數相乘之積，加該數與另一數之一部相乘之積，差以該兩部自身相乘之積。』
『依此作去，窮儘可能，終得積數：其左集爲同部咚阒茫溆壹癄懏惒窟算之所得也』
這是乘法的規則。
0×y=0，這種性質對於ω、2ω等等無限大數也都成立，不會出現0×∞不爲零的奇怪情況。
在第2N日，2ω成爲了所有數中最大的數。
與它在同一天誕生的還有1/2ω，2ε和1/2ε。
1/2=（{0}丨{1}）
ε=（{0}丨{1，1/2，……}）
ω=（{1，2，……}丨空集）
利用乘法規則可以得到1/2ω
（{1，2，……}丨{ω-1，ω-2……}）
這個數字看起來就像是從數軸上ω所在的位置出發，向着左側零點方向走出了無限個單位長度，卻依舊沒能走到實數域的範圍。
時間流逝，到了到第N^2日、N^N日，超窮序數ω^2，ω^ω等等也都會在這套規則下誕生。
與這些數字一同誕生的是一些更復雜的數字，比如
ω^1/2≡（{1，2……}丨{ω，ω/2，ω/3……}）
ε^1/2≡（{ε，2ε……}丨{1，1/2……}）
這兩個數字的複雜度與ε^2，ω^2相同，都是在第N^2日誕生的。
康托爾的樸素集合論中定義的超窮序數對應的是圖靈度層級，也就是一個數的算法複雜度。
在康威的規則中，這些超窮序數則是每一個數的生日。
每一個超窮序數在誕生之時都出現在數軸的最右側。
它們在已有數字的邊緣從虛無的空集中誕生，是當日創造的最大的數。
因此，只有第N+1日，而不會有N-1日。
ω-1這個數在ω誕生的下一日才被創造出來。
它雖然比ω小，卻比ω更復雜，包含的信息量更多，需要ω+1次計算才能得到結果。
隨着越來越大的超窮序數誕生，這條全新的數軸在變得更長的同時，也在變得越來越複雜，分佈在數軸上的數變得前所未有地稠密。
數軸上所能測量的最小尺度從第N日的實無窮小ε，到第N^2日變成了ε^2，一個比實無窮小還要更小無窮倍的長度。
這些線段在實數構成的數軸上是不存在的，它們都會被認爲是退化的線段，等同於長度爲零，沒有大小的點。
“ω^ω，不動點ε0、ε1等等，此前我們在討論圖靈度層級時提到過的所有集合論中的超窮序數都會被創造出來。”
“並且它們會搖身一變，成爲分佈在這條全新數軸上的一個數，就和普通的數一樣可以進行四則咚恪！�
“每一個超窮序數都有着與之對應的無限小數，這些無限小數是數軸上的一段非零長度。”
“從這些無限小數的身上，就能明確知道一臺超圖靈機的力量可以實現何種程度的神蹟。”
李恆從地上起身，看向沙灘旁那片一望無際的藍色海洋，看向那個遙遠的靜止小世界。
“那些比凡人世界中的小概率奇蹟更稀有的神蹟，需要用無窮的力量才能把它們變爲現實。”
“這些神蹟發生的概率是可以精確計算的，1/ω、1/ω^ω，亦或者更小。”
“創造這些神蹟需要付出的信息量就是與之對應的超窮序數，也就是這些小於一切實數的無限小數的誕生日。”
阿基里斯也從沙灘上站起，她知道李恆是在看那個最初的紙片人，看那個過去的她。
但她的眼中看不到那個被藏起來的小世界，即使借用了這臺二星芝諾機那份不可數無限的力量。
阿基里斯想了想問道：
“這臺二星芝諾機，是在第N1日誕生的？”
康威的規則是常規集合論公理的擴張。
既然採用了這種用兩個集合定義一個數的方式，那麼這條全新的數軸長度自然就不會僅僅限於可數無限集合的範圍內。
在第N1日，比所有可數無限大數都更大的不可數無限大數誕生了。
它是ω1，這個龐大的數字需要用不可數無限次計算才能得到精確結果。
它可以看做是從數軸上的零點出發，向着右側走出N1個單位長度後抵達的位置。
同時，就像N日誕生的實數宇宙和超實數一樣，數軸上分佈的數在這一日再次驟然擴張，數量從N1跳躍到了N2。
“數軸越長，數軸上的數就越密集，數軸上能找到的最小長度就越短。”
“就在這個全新的無限大數誕生的那一天，一個比原來的所有無窮小都還要更小的無限小數也同時誕生了。”
李恆轉過身，他伸手輕輕敲了敲阿基里斯胸前的那枚粉白色螺旋狀鑰匙，在那裏添上了一顆小星星，笑了笑道：
“現在它是一臺三星芝諾機了。”
“但想要抵達我所在的世界，這點力量還遠遠不夠。”
說到這裏，他話鋒一轉道：
“想去看一看我誕生的世界麼？去見一見那個過去的你。”
說這話的語氣聽起來就像是帶朋友回家去看自己收藏的手辦一樣。
阿基里斯聽了毫不遲疑地點頭。
下一瞬，空間破碎，陽光、沙灘、海浪消失無蹤，兩人來到了一個全新的世界。
連續的數軸再一次被超實數所切割，出現了更多的空隙，每一個空隙都是一條長度爲1/ω1的線段。
這些線段在之前的超實數世界中看起來是一個沒有大小的點，但實際上卻隱藏着比那裏的整個世界還要廣闊的無盡世界。
他們並沒有就此停留。
就像是在畢達哥拉斯統治的那個有理數世界中所做的一樣，隱藏在不可知之處的無窮小世界被放大、爾後顯現出那些更小的世界。
“N2，N3，……Nω，Nω^ω……”
阿基里斯沒有空餘的心思去看清眼前那些一閃而逝的新世界。
她只是低着自己的腦袋，睜大了眼眸，努力地細數着這臺芝諾機上數量瘋狂增長着的小星星。
那些星星數量增長的速度遠遠超過她孱弱的大腦所能想象的範圍，不過轉念之間便已然遠遠超過了之前在康托爾那裏提及的阿列夫無限。
他們正在潛入這個世界的深處，遠比量子比特海洋更深、更遠的區域，一個根本沒有盡頭的深淵。
太遙遠了，從離散到連續的世界遠比一次冪集公理的跳躍遠得多，比無窮次冪集公理的跳躍也遠得多。
那個小世界到底隱藏在多麼隱祕的地方？這傢伙把那個紙片人也藏得太好了吧。
“不，這種想法不對。”
阿基里斯突然搖了搖頭，停止了那無用的數星星行動，抬起頭道：
“我明白了，我們此刻所在的世界與連續統的距離，應該和之前那些世界一樣遠。”
“不管是切割一次，還是切割無限次、不可數無限次，都不可能找到數軸上不可再分的最小元素，從有長度的線段抵達沒有長度的點。”
回憶起在畢達哥拉斯的世界中尋找無窮小的過程，她終於明白了離散和連續之間那不可觸及的距離究竟有多遙遠。
康托爾定義的常規集合論規則是沒有盡頭的。
在冪集公理的規則範圍內，無論是多大的集合λ，總能創造出比它更大的冪集2^λ。
有了更大的冪集，用康威定義的規則，就能創造出與這些集合對應的新數。
數軸的長度因此可以被擴張到比λ更長的2^λ，同時創造更小的無限小數，把數軸分割成更微小的線段。
如此分割，無窮無盡。
“沒錯，無窮無盡。”
阿基里斯想明白了。
她舉起那臺已然進化到可怕程度的芝諾機，看向一旁嘴角帶着些許微笑的李恆，有些不忿地道：
“不想帶我去你家就直說。”
“切割了這麼久，其實根本就沒有半點作用。”
就像力量侷限在有限世界的畢達哥拉斯永遠也找不到隱藏在有理數間隙之中的無窮小世界那樣。
無論是N1、Nω，還是遠比它們更大的阿列夫數，它們面對着康威創造的這條可以無盡切割、無限延伸的新數軸，就像是有限和無限之間的差距。
這種熟悉的感覺就和有限的凡人面對着無限的神一模一樣。
如果說無限的世界對有限的凡人而言是不可抵達的神之領域，那麼連續統對於無限的神而言同樣也是不可抵達的神之領域。
有限的數，無論定義何種咚惴绞剑鲆欢迅叩录{箭頭，創造一堆宇宙都裝不下的大數，它們和無限的距離也不會比0更接近。
無限是無法通過常規咚惴绞降诌_的，只能用一個不證自明的無窮公理來保證無限集合的存在。
現在，來到了無限領域，理解了這個超越有限凡人的神之領域的力量以後，阿基里斯遇到了第二個具有這種性質的存在。
連續統是一個用冪集公理無法抵達的世界。
用冪集公理構造阿列夫數的無盡跳躍過程，就如同有限世界中的潛無限一樣。
這些無限大數可以永無止盡地增大，但它們與連續統的距離，就像有限的凡人與無限的距離一樣遙遠。
那裏是凌駕於一切無限的神之上，神上之神所在的世界。
僅僅使用常規的冪集公理，無論取多少次冪集，都不可能從離散的點變成連續的線。
想要做到點動成線，必須使用普通的集合論中沒有的公理規則。
用一個新的，類似於無窮公理的公理規則，來保證連續統的存在。
李恆輕輕磨了磨牙齒，那裏有一顆無法被他吞噬的，不可描述的點。
在冪集公理的範圍內，無論切割數軸多少次，都不可能找到這個不可描述的點。
這個來自於真實界的終末節點，它內部的龐大力量僅僅用來毀滅一個自然數集合範圍內的物質宇宙，用大炮打蚊子都不足以形容。
這個終末節點是存在於連續統上的真正奇點。
它的內部包含了常規集合論中沒有的公理，這類公理是無窮公理的延伸。
存在一個基數κ，滿足性質對任何小於κ的基數λ，都有2^λ＜κ。
基數κ無法通過常規的咚惴绞阶韵露系诌_。
第一個滿足這條規則的基數是N0，凌駕於有限的凡人世界之上的神之領域。
第二個就是連續統的基數，凌駕於一切阿列夫數之上的大基數。
不可達基數。
第730章 不可達
地球，最初的那條街道。
阿基里斯站在街道的一邊，手中捧着一個奶油冰淇淋。
那場從古老的蘇美爾文明開始，一直到不可知的混沌虛無世界的旅行，似乎只是一場轉瞬即逝的幻夢。
比未知更未知，比隨機更隨機，比無窮更無窮。
這些形容詞都被用於形容連續統。
但這個世界中離散和連續之間的距離遠比常規數學體系中的實數連續統更遙遠。
阿基里斯向着前方踏出一步，腳上全新的白色帆布鞋堅實地踩在了大地之上。
一步過後，她就穿過了街道，來到了那個貧民窟。
這個世界的時間停止了。
衣着華麗的富人老爺，持槍的僕人，喫着牛排的獵犬，半空中倒飛出去血肉模糊的流浪漢。