作者：橘子汽水西瓜味
『令負數之集爲原數另集之負數所成，令減去一數等於加其負數。』
『康威證得，減法爲加法之逆。夜去晝來，是爲第四日。』
“加法之後是減法，減去一數就是加上負數，這個簡單。”
阿基里斯看着海灘上的數軸，上面的數字在她的指尖下一個個誕生。
它們按照被創造出來的時間和大小有序排列，看起來就和普通的實數軸沒什麼太大區別。
“1-1，1=（{0}丨空集），-1=（空集丨{0}）。”
“兩者相加，得到的新數是……咦？”
阿基里斯突然眨了眨眼睛，粉色的瞳孔中閃過一絲驚奇的色彩。
她一直以爲這種新的規則只是在實數的基礎上增加了無限大數和無窮小數。
但她這時卻發現，只是涉及到減法的時候，好像就有一些與常識中不太一樣的地方出現了。
在普通的標準分析中，1-1=0是毫無疑問的正確結論，一個數減去其自身當然就是等於0。
按照這種新的定義規則，1-1得到的數（{-1}丨{1}）。
但0卻被定義爲（空集丨空集）。
在這種全新的定義規則下，一個數減去自身的結果不是嚴格等於0。
一手撐着下巴仔仔細細地重新回顧了一遍石碑上的雕文，阿基里斯若有所思地道：
“原來如此，這上面寫的不是不是小於等於，而是小於或相似於。”
“在標準分析的數學中，x≤y且y≤x，就能推出x=y，兩個數是嚴格的相等。”
“但在這種新的規則下，這個前提卻並不能得到同樣的結論。”
“這樣的話，除了0以外，一個數減去自身並不等於0，不能用＝符號，只能用這個『≡』相似於的符號。”
她發現自己似乎想的有些太簡單了，以爲這種新的定義規則只是爲了應對無限大數。
雖然引入這一規則主要目的就是爲了能定義那些涉及到實無限的數，但全新的基本規則顯然也會改變原來常識中的有限數。
比如這個在實數範圍內並沒有的所謂相似於“≡”的性質。
阿基里斯一直想着用這種新的規則去創造熟悉的數，整數、分數等等。
她卻忘了這種規則下的數與自己過往常識中認知的數根本不是一回事。
回頭重新看去，許多被她下意識忽略掉的新數也都不一樣了。
比如（{-1}丨空集）和（空集丨{1}）這兩個數，它們同樣出現在第三日，在1和-1被創造出來之後誕生。
根據石頭上的規則，這兩個數均滿足x≤0且0≤x，但定義它們的數集卻與0不一樣。
類似的，還有（{-1/2}丨空集），（{-2}丨空集）等等數也都能滿足這個條件。
更準確的說法應該是相似於，用符號≡表示。
0只有唯一的一個，但相似於0的數卻有無限多個。
不過目前看起來這種差別也並不太大。
至於（{0}丨{0}），它不滿足康威的第一條規則“左集中沒有一個元素大於或等於右集中的元素”，所以它不是一個數。
目光聚焦在第一條規則上，阿基里斯突發奇想地道：
“如果不遵循第一條定義數的規則，比如創造一個（{1}，{0}），這東西又會有些什麼樣的性質？”
這肯定不是一個數，它左集中的元素比右集中的元素還要大，在數軸上根本不可能找到它。
但它又可以與其他的數比大小。
根據第二條規則，甲數小於或等於乙數，當且僅當甲數之左集中無一大於或等於乙數，且乙數之右集中無一小於或等於甲數。
將（{1}，{0}）與其他的數比較，比如2=（{1}丨空集）。
甲數的左集最大元素是1，小於乙數2，乙數2的右集是空集，不小於或等於甲數。
於是就能得到（{1}，{0}）＜2的結論。
明明是在數軸上完全找不到的數，卻能與普通的數比較大小。
這種數未必就完全沒有意義了。
它和常規的數的關係可能就像是負數和正數、無理數和有理數、虛數和實數的關係一樣。
負數看起來沒有什麼對應之物，無理數這種不成比例的量完全只是想象，虛數更是完全不符合常識。
但這些純粹存在於想象中的概念，說不定就能在哪個地方用上。
仔仔細細看了一遍石頭上的規則，阿基里斯轉頭看向不遠處的燒烤架問道：
“根據石頭上的這些規則，我似乎無法創造出1/3這樣的分數？”
既然這種全新的公理規則是實數域的擴張，那應該包含了所有的實數纔對。
第一天是0，第二天是±1，第三天是±1/2，±2，第四天是1/4，3/4，3/2，3以及各自的負數。
到了第n天，總共創造出了2^n-1個數。
用這種規則創造分數的方式就好像是芝諾的二分法一樣，用新出現的數作爲刀刃去切割數軸，得到更多的數。
“只是二進制和十進制的區別罷了。”
李恆將烤架上僅剩下了一條觸手的小生物扔給了蹲在石頭前面的阿基里斯。
“康威創造數的方式就像芝諾的二分法，使用的其實是二進制，當然只會出現1/2、1/4、1/8這樣的分數。”
“但這種區別僅在有限的世界有用。”
“你現在創造的二進制數，都只是數位有限的二進制數。”
“想一想1/3的二進制表示，再想一想0.99……，你覺得這些尚未出現的分數會在哪一天出現？”
1/3的二進制表示？
阿基里斯一手接過那條香噴噴的觸鬚，張嘴咬了一口，另一隻手的指尖在腳下的沙灘上劃過。
1/3=0.010101……，這是一個無限循環小數。
“無窮？實無窮？”
是了，第n天創造出了第2^n-1個數字，那麼如果n取N0，最終就創造出了2^N0個數。
這些尚未出現的十進制分數會在那一日與實數中的那些不可定義數一同誕生。
也是在這一刻，阿基里斯發現石頭上顯現出了新的雕文。
『萬數創生，無窮日逝，而宇宙現形。夜去晝來，是爲第N日。』
在第N日，康威創造出了全體實數，一個不可數無限的龐大數字宇宙。
第728章 玄極
第N日，全體實數在這一天同時誕生，構成了一個體量爲不可數無限的宇宙。
標準分析中用於定義實數的方法是戴德金分割，用兩個有限的有理數之間的空隙去定義實數。
按照康威創造的規則，定義1/3的兩個數集分別是左集{0.01，0.0101，……}，右集取{0.1，0.11，……}。
其中0.01是分數1/4，0.1則是分數1/2。
左右兩個數集中的每一個數都是二進制下的分數，就像是切割那根萬世不竭的木棍一樣，不斷地將數軸分割成兩半。
隨着無止盡的切割，兩個集合中的數越來越多，數軸剩餘的長度則越來越短。
最終在無窮次步驟過後，左集和右集中都包含了無限個數，創造出了1/3。
類似的，根號2和π等無理數也可以用這種方式定義。
這種處理方式與康托爾處理實數的方式如出一轍。
在研究實數集合時，爲了保證每一個數都有唯一的寫法，康托爾將1、0.5這類數字都表示成了0.999……0.4999……等等與無理數一致的形式。
“好熟悉的感覺。”
阿基里斯低頭看了看掛在自己胸前的粉白色螺旋鑰匙。
康威創造實數宇宙的過程就像是一臺芝諾機。
第一天花費了1秒，創造了2個數字。
第二天花費了1/2秒，創造了4個數字。
第3天花費了1/4秒，創造了8個數字。
但普通的芝諾機只能處理一個無窮序列。
康威創造的實數宇宙是芝諾機的升級版，應該稱它是二星芝諾機。
到這裏爲止，這種用兩個數集定義一個數的規則並不會比普通的規則多出什麼新的有趣之處，反而顯得多此一舉，極爲麻煩。
“N日，實數誕生，宇宙現形。”
“但康威卻並沒有就此停下。”
阿基里斯注視着石頭上顯現出來的規則，在這條規則的下方還有未盡之語。
『後出一無窮數，不及玄極。逝日無窮，由是無窮亦高下有序也。』
所謂玄極，指的就是無窮。
不及玄極，也就是比無窮大更小，但卻仍舊是無窮的數。
在普通集合論公理規則定義的基數和序數中，並不存在這樣的數。
“超實數，用這種新的規則可以定義原本只能用基數和序數衡量的無限大數？”
在標準的數學體系中，差別最大的就是有限與無限。
自然數、有理數、實數，雖然它們本身的元素數量都是無限的，甚至還分爲可數無限和不可數無限兩種類型。
但這兩種無限都只能使用集合論的方式來描述，用基數和序數衡量，與人類日常使用的數之間沒有關係。
無論是基數咚阒械腘0+N0=N0、N0×N0=N0，還是序數咚阒械�1+ω=ω＜ω+1、2×ω＝ω＜ω×2。
兩者的咚惴绞綄镀胀ǖ挠邢迶刀远硷@得很奇怪。
無限就像是一個幽靈，無論是無窮大還是無窮小，都遊離在人類常識的世界之外。
“在遇到無限的時候，用一對互斥的數集定義一個數的方式就顯得有意思起來了。”
李恆來到了這塊記錄着公理規則的漆黑大石頭前。
“1/3這個數是由兩個數集定義的，並且它們都是包含了可數無限個元素的無窮集合。”
“既然可以用兩個包含了無限個元素的無窮集合定義一個實數，那當然也可以把其他的無窮集合取作左集和右集。”
“比如說，在左集中放入全體自然數，創造一個比所有的自然數都更大的數。”
有了這種用兩個集合定義一個數的基本規則，無限大數就是一個顯而易見的結果。
在第N日，康威不僅創造出了全體實數，同時還創造出了不在實數域中的超實數。
無限大數ω=（｛1，2，3……｝丨空集）
左集是全體自然數的集合，右集是虛無的空集。
以及與無限大同時誕生的負無限大。
-ω=（空集丨｛-1，-2，-3……｝）
這裏的ω不同於用同樣的符號表示的超窮序數，而是一個可以進行普通加減咚愕木唧w的數，就像是1、2等等自然數一樣。
全新的數軸向着左右兩側無限延伸。
這種延伸比普通實數域的潛無限範圍更遠，它在混沌虛無中開闢了全新的世界，一直延伸到了實無限的世界中。
毫無疑問，超實數構成的數軸遠比實數軸要更長。
如果說可觀測宇宙中普通的宇宙大爆炸只是宇宙永無止盡的永恆暴脹留下的一絲微不足道的殘影。
那麼康威從混沌蒼茫中創造數字的第N日所發生的事情則是遠遠凌駕於此上的更高層次的宇宙大爆炸。
有了無窮大數，無窮小數自然也就同時誕生了。
取右集爲｛1，1/2，1/3，……｝，將全體自然數的倒數作爲右部，左集取｛0｝，就能得到一個小於一切正實數，卻又不爲0的無窮小數ε。