作者：橘子汽水西瓜味
這種定義方式與生成自然數的規則是不同的，它一開始就至少要用到兩個集合。
在舊的規則中，定義自然數最初的0卻僅僅只需要用到一個空集。
從最初誕生的基礎規則開始就不同，用這種全新的方式定義的數恐怕與普通的數也完全不是一回事。
“沒錯，用兩個互斥的左集和右集來定義一個數。”
李恆舉起手中的那臺二星芝諾機，將它那看不到具體大小的尖端對準白色的數軸。
阿基里斯耳邊有清脆的破裂聲響起，看似無缺無漏的實數之間被破開了一道縫隙，超越實數的世界被找到了。
純白無暇的世界消失不見，這個隱藏在實無窮小區域中的新世界既不是虛無的黑暗，也不是不可知的混沌。
這裏是一片普通的海灘，海灘邊埋着一塊黑色的大石頭，露出來的半截上面刻着一段像是塗鴉一樣的雕文。
“公理石碑？”
阿基里斯微眯着眼睛看向那塊黑色大石頭。
名字起的倒是高大上，但看起來就是一塊黑漆漆的大石頭，跟石碑這個詞完全搭不上邊。
『初，萬物混沌蒼茫，爾後康威始創諸數。』
『創生二道，大小諸數蓋由此出。
其一曰：凡數，皆合於前創二數之集，其位左者，無一大於或等於其位右者。
其二曰：甲數小於或等於乙數，當且僅當甲數之左集中無一大於或等於乙數，且乙數之右集中無一小於或等於甲數。』
『康威檢視二道，連呼妙哉！此二道真妙絕！』
這兩條規則並不難理解，第一條規則就是描述了數軸的有序性。
第二條規則就是戴德金分割的基本思想，用數軸上左右互斥的兩個集合和來定義一個數。
每一個數本質上都是一對數集，並且這些數集中的每一個數本身也是一對數集。
“康威？”
阿基里斯低聲念着這個名字。
兩人之前在討論大數的時候提到過這個名字，用於表示大數的高德納箭頭和康威鏈式箭號。
這人應該就是那個康威。
她繼續向下看去。
『元初之數，左右皆空，康威名之曰“零”，命其爲正負兩界分野之符。』
『康威證得零小於或等於零，此間妙也。夜去晝來，是爲零日。』
『次日又得二數，其一以零爲左集，其一以零爲右集，前者曰“一”，後者曰“負一”……』
這就是用前面提到的兩條規則來定義數了。
知道了戴德金分割的基本思想，這種全新的規則阿基里斯看過一遍就明白了。
每一個數本質上都是一對數集。
但最初沒有任何的數，唯一存在的東西就是虛無，也就是空集。
所以最初的數左右兩側都是空集，這個數就是0。
寫成符號形式就是，0=（空集丨空集）。
左右皆空，空集不包含任何元素，空集與空集之間自然也就沒有交集。
並且，因爲不包含任何元素，所以空集是任意一個集合的子集。
這就意味着空集可以被隨意地放在左側或者右側。
無論另一邊的集合中是包含一個還是無窮多個元素，空集都一定滿足這兩條規則。
空集的這種性質還真是好用，集合論裏的空集果然和哲學意義上一切皆無的概念完全不一樣。
1=（｛0｝丨空集）
2=（｛0，1｝丨空集）
-1=（空集丨｛0｝）
-2=（空集丨｛-1，0｝）
以此類推，便可創造出一切整數。
“不，或許這些符號還可以更簡單一些。”
阿基里斯突然又搖了搖頭。
比較數軸上左右兩個互斥集合，不需要比較集合中的每一個元素，只需要比較左集中的最大元素和右集中的最小元素。
這樣的話，2=（｛0，1｝丨空集）也可以寫成2=（｛1｝丨空集）。
每一個新的數都在舊數的邊界之處創造。
第727章 宇宙
『令數以此道相加：兩數之和，其左集爲每數之左部與另一數之和，同理右集成於右部，依其類分。』
『康威證得，萬數加零，其和不變。夜去晝來，是爲第三日。』
萬物混沌蒼茫，從空集之中無中生有創造諸數。
雖然這些數的定義與皮亞諾公理完全不一樣，但後繼數的有序概念卻是類似的。
從最初的零開始，在數的邊界處不停地創造新的數，最終創造出所有的整數。
但僅有這種後繼關係並不完善，康威在第三日定義了這種新規則下數的加法咚恪�
或許表面上和皮亞諾公理看起來一樣，但這些數的本質定義卻是完全不同的。
這種規則下的每一個數都是一對數集，數的大小有序性和無縫連續的數軸上每一個點的左右關係是彼此對應的。
“左部與另一數之和，右部與另一數之和？”
阿基里斯蹲在這塊貌不驚人的黑色大石頭前，一手撐着下巴注視着上面的雕文，另一隻手的食指將沙灘上柔軟細膩的沙子推開，在沙灘上留下一道道痕跡。
“兩個數分別是x和y，x=（XL丨XR），y=（YL丨YR），其中大寫的X和Y代表的是定義數的數集。”
“根據這塊石碑上定義的加法咚阋巹t，x+y=（XL+y）∪（YL+x）丨（XR+y）U（YR+x）”
“……好複雜。”
阿基里斯轉頭看向沙灘上用手指寫下的這一堆符號，接着又抬起頭看向身旁的燒烤架。
一隻長得很別緻的棘皮動物在烤架上面掙扎扭動，黃褐色的觸手在赤紅色的火焰中滋滋作響，長着近似於人類眼球的頭部區域發出驚恐的哀嚎聲：
“偉大尊貴的未知存在，吾願意成爲您永生永世的僕人，請您務必不要喫掉我！”
看起來長得像個沒腦子的混亂生物，真到了要被人當做盤中食物喫掉之時還是很有求生欲的嘛。
“不行，你太蠢了。”
李恆搖了搖頭，輕輕吹了口氣，赤紅色的火焰就將這隻長得像是棘皮動物的怪物徹底烤熟。
他聞了聞這隻奇怪的小生物散發的香味，抬頭看向蹲在石碑前的阿基里斯笑着道：
“如果這些公理規則也能像是喫東西一樣輕鬆簡單就好了。”
“把複雜的咿D過程都交給自己的身體細胞，將這些公理規則的力量交給身體本能的直覺，自己的主觀意識只需要認知其中想要知道的那部分。”
“燒烤架上的這隻小東西就是一隻這樣的生物。”
“單純以力量而論，它身體內部容納着不可數無限集合的力量，包含了定義全體實數的公理規則。”
“這些公理規則創造了無數的宇宙與文明猩瑯嫵闪艘粋�能與實數集形成一一對應的龐大世界。”
“你我一路上所見的畢達哥拉斯、康托爾等等，甚至於現在的你和你眼中見到的這個我，都可以在它的體內世界中找到。”
“但這隻蠢東西的腦子並不理解自己身體擁有的力量，只掌握了草履蟲一樣簡單的本能。”
“偷懶的想法是人之常情，我並不覺得這有什麼不好，能輕鬆簡單一些，沒必要去掌握那些複雜的東西。”
“但是，注意，我這裏說的是人。”
李恆從這隻被烤熟的奇異生物的身體上摘下一塊塞入口中，露出了那口鋒利雪白的尖銳牙齒。
除了頭髮的顏色和眼睛的顏色，這一口鯊魚般的鋒利牙齒是他和阿基里斯的外貌最大的不同之處。
“有限的凡人在我眼中智慧並無高下之別，無論是縱橫宇宙的文明級生命體還是隻能進行簡單生命活動的草履蟲，都是圖靈度爲0的笨蛋。”
“我可以允許有限的凡人用一顆普通，甚至可以說是愚蠢的大腦，掌握長生不死、破滅星河，生滅宇宙的力量。”
“但我不允許這顆愚蠢的大腦跨過有限和無限的屏障，掌握無限領域無中生有的力量。”
“既然想要做個無知的凡人，那就做好自己的定位，明白自己擁有的一切都來自於自然世界，是無限的宇宙賦予了自己這一切。”
這種想法一如既往。
在沒有涉及到無限領域的時候，他以人類社會中常用的“智能水平”作爲基礎，把智慧生物的智力水平進行量化。
那些龐大的文明級生命體天然就擁有更多的權力，就像是人比貓狗更聰明，所以天然就擁有動物所沒有的人權一樣。
但到了無限領域，過往這些有限生靈的差異在無限的壁障面前就什麼都不是了。
牙齒微微用力，李恆將口中的食物碾得粉碎，吞下血肉之中容納的公理規則與無數宇宙。
就像是以前吞喫其他東西一樣，一切進到他體內的食物都像是進入了一個無底洞中，化爲了微不可見的無窮小的物體。
比起會因爲吸入物質而變大、變重的黑洞，這種表現才更像是理想中的黑洞與奇點。
李恆抬起頭，露出一個和善的笑容：
“我不喜歡世間存在像是這隻蠢東西一樣，明明智慧並不比自己體內宇宙的紙片人更高，卻高高在上的做着無所不能的神。”
“人就是人，不能竊取無限的神的力量和權力。”
“想要成爲神，那就必須放棄凡人孱弱的思想，徹底踏入那個無限的世界。”
“這一點對你當然也不會例外。”
人類社會中的法律不會允許螞蟻的權力凌駕於人類的權力之上。
強大與弱小、聰明與愚蠢的差異客觀存在，階級層次也客觀存在。
只不過在他的眼裏，沒有人類社會那麼多複雜的層次劃分，世間一切有限的凡人都是一無所有的窮鬼。
如果想要以有限的思想掌握無限的力量，那就會像是燒烤架上這隻長得很別緻的蠢東西一樣被他整個吞掉。
阿基里斯一點也不在意這種恐嚇，只是淡定地努了努嘴道：
“那隻別緻的小東西給我留一點，我把這塊大石頭上寫的規則弄明白了就過來喫。”
她轉過頭，重新將注意力集中在大石頭記錄的加法規則上。
“每一個數本質上是一對互斥的集合，那麼將兩個數相加，就是將對應的集合相加。”
“對於集合論來說，加法就是兩個集合的並集……”
“嗯，找個例子看看。”
“1+1，1=（｛0｝丨空集）”
“按照這個加法規則，1+1得到的新數左部是數集｛0+1，0+1｝。”
“0+1得到的左部是{0+0}，0+0得到0，所以左集就是{1}。”
“至於右部，兩個數的右集都是空集，所以結果依舊是空集。”
“1+1=（｛1｝丨空集），這個數無疑就是2。”
“按照這個規則，從空集中創造出了0和1，還可以定義一個在0和1之間的數a=（{0}丨{1}）。”
“用加法計算a+a，新的數是（｛a｝丨｛1+a｝）。”
“a這個數是在第3日創造的，這一日在a和1+a之間，只有第2日創造的唯一的一個數1。”
“2a=1，a=1/2。”
“1/2，-1/2，2，-2，這四個數都是在第三天誕生的。”
每一個數誕生的先後順序很重要，後續的數只能以前面誕生的數爲基礎進行創造。
最開始的第一天只有無中生有的0，第二天創造了1，-1，第三天創造了2，-2，1/2，-1/2。
很好，這樣就把第三天的規則弄明白了。