作者：橘子汽水西瓜味
沒有能夠付諸實踐的力量，就只能被禁錮在原來的世界。
“超實數域有三個組成部分。
無窮小δ，ε，它的絕對值比任何實數都要小。
有限數，它就是實數，任何給定的實數都是有限大。
無限大數，ω，這裏ε=1/ω，它比任何實數都要大。”
“引入了無限大數和無窮小數之後，在超實數域中，0.99……和1表示的不是數軸上的同一個數。”
“兩者之間還存在着無窮多個與它們相差一個無窮小量的超實數，類似於1-ε，1-ε^2等等。”
“但這些無限大數和無限小數只是最基礎的部分。”
“之前我們在康托爾的精神病院裏都能用冪集公理從N0開始一路向上無限跳躍，你不會覺得只是用實數切割一次數軸就到盡頭了吧？”
啊，早就該猜到的了。
阿基里斯對此毫不意外，這可沒有什麼事不過三的說法。
既然能切割一次、兩次，那自然就可以繼續切割無數次。
從點到線，從離散到連續，從靜止到邉印�
兩者之間的差距遠比她最初以爲的還要大得多。
在這個世界裏，連續統的基數遠不只是N1或者N2。
不過，這樣正好，越遠越好。
真理無窮，如果他們兩個的研究也永遠不會走到盡頭就好了。
第726章 無中生有
“非標準分析的世界比標準分析的世界還要複雜很多。”
“雖然統一稱作非標準分析，但它們其實指的是一類不同於標準集合論公理的數學系統。”
“有一些只是普通集合論公理的保守擴張，雖然引入了無限大數和無限小數，但裏面的結論可以轉換到標準分析的數學體系裏。”
“另外一些則比常規集合論公理描述的世界更大。”
“不只是在原來的基礎上增加一些超實數這麼簡單，數的基本定義都會發生改變。”
“總之，就像是之前一樣，還是從最基礎的部分開始。”
李恆伸手拿過阿基里斯胸前掛着的粉白色螺旋鑰匙，將它的尖端對準了那條白色的數軸。
在阿基里斯略有疑惑的目光中，他口中像是念咒語一樣低聲道：
“升級，二星芝諾機。”
緊接着這枚粉白色的螺旋狀鑰匙表面就多了一絲紅色的紋路，表明這臺超圖靈機與之前的不同。
“好了，我現在已經給它賦予了不可數無限的力量，你可以用它來切開實數之間的縫隙了。”
喂，這也太簡單了吧，你這是在玩什麼卡牌遊戲嘛！
阿基里斯心中一陣吐槽。
明明在之前的旅途中把不可數無限的種種性質描述得那麼可怕。
證明了實數的主要構成部分是無法用有限的字符準確定義的不可定義數，它們對於有限的凡人是不可知不可論的存在。
結果現在隨便一句話就弄出了一臺升級版的二星芝諾機，一下子就把不可數無限變得沒什麼逼格了。
“『在數學中你並沒有理解什麼東西，你只是習慣了它們而已。』”
“這個世界上沒有宗教意義上的唯一神，也沒有絕對正確的真理，更沒有什麼至高無上的無敵境界。”
“你現在所知的宏偉事物，在更廣闊的世界裏也只是一絲微不足道的塵埃。”
李恆抬起手掌，在這片混沌不可知的世界中輕點食指。
阿基里斯發現，在這一刻一切都消失了。
她的眼中不再有奇怪的分數維空間，不再有混亂跳躍的線條。
這個容納着實數，比之前的世界更隨機、更未知的不可知世界，不再給她帶來那種超出理性邊界的混沌感覺。
世界安靜到了極點，彷彿回到了她的意識誕生之前，又或者是去到了她死後意識消失的世界。
純粹的黑暗，純粹的虛無。
李恆把這個實數世界裏的所有信息都一鍵清空了。
對於現在的他，將一個體量達到不可數無限等級的世界毀滅歸墟，並不會比踩死一隻螞蟻更困難。
“接下來我們會觸及到這個世界最本質的力量。”
“它們是比空間和時間更基礎，甚至比起那些由純粹的信息構成的數都更爲基本的存在。”
“它們是宇宙萬物的起點，是先於一切存在而誕生的最初的因。”
“它們就是那些我們無法去探究原因、無法去理解，只能去習慣的東西。”
“它們是不證自明的公理，是構成一個廣闊無垠的集合論宇宙的基礎規則。”
“你在這個世界裏有可能認知的一切事物，都在這些公理規則構建的集合論宇宙之內。”
“從某種意義上來說，你看到的這些不證自明的公理就是我的身體。”
李恆看着自己探出的手掌，笑了笑道：
“這並不困難，我剛剛升級那臺芝諾機所使用的就是冪集公理，從一個N0的集合中，無中生有地創造了一個N1的集合。”
一生萬物、萬物歸一者，無所不知、無處不在，這些概念雖然說起來很厲害，但都顯得有些虛而不實。
超越光速的4階黑洞生命體就能做到無處不在，化作一方容納億億萬萬可觀測宇宙的龐大宇宙，體內容納無數文明猩�
給這種黑洞生命體掛上這些厲害的名號也不會有什麼突兀之處。
但是，這些有限的生命體使用的力量依舊算不上是自己的，只是來自於棲身的無限宇宙微不足道的一絲力量罷了。
黑洞生命體那無窮無盡的能量是來自於真空本身的能量。
這種能量是宇宙永恆暴脹的殘餘。
宇宙的永恆暴脹又源於量子比特的無盡複製。
量子比特的無盡複製就源自構成世界的公理規則。
只有到了無限領域，才能掌握一個足夠大，大到至少能容納全體自然數集合的公理系統。
從而掌握無中生有的力量，真正做到自給自足，不假外物。
“這個世界上存在的一切事物都源於無中生有的力量，這份力量就源於構成這個世界最基礎的公理。”
“回憶一下之前我們研究自然數時我跟你提到的概念，在集合論中是如何定義自然數的？”
阿基里斯回憶着之前提到過的集合論中對自然數的基本定義，感受着這片虛無的世界道：
“空集？”
空集，一個什麼元素都沒有的集合。
最初出現空集的概念是爲了應付兩個不相交集合的交集的情況。
例如全體奇數的集合和全體偶數的集合，就是兩個沒有交集的集合。
但空集卻與“無是完全不存在的”這種不可思議的、哲學上的無的概念相當不同。
空集是有意義的。
不包含任何元素的空集也是一種存在，是集合論中最小的集合。
虛無也是一種存在，就像現在兩人所在的這個比真空還要更爲空無，被清空了一切信息的世界。
“空集沒有元素，所以定義數0爲空集空集。”
“接着，定義數1是含有以空集作爲一個元素的集合{空集}。”
“它同空集不一樣，空集是沒有元素的集合，而{空集}是含有一個元素的集合。”
有了最初的0和1，後續的一切就很簡單了，就像數數一樣無限+1即可。
以此方法無限重複下去，自然數集合中的每一個元素都可以用像俄羅斯套娃一樣的嵌套集合來代替，一切都只涉及到空集的概念。
如此就從空無一物的虛無開始，創造出了一個無限的存在。
“咦？”
阿基里斯突然輕咦一聲。
她僅僅只是在腦海裏思考這條規則，這片空無一物的虛無世界就變了模樣。
存在從虛無中誕生了。
白色的光芒以她爲中心，向着周圍的世界無窮無盡地湧現，創造出一個純淨無暇如同天堂的世界。
這一幕簡直就像是聖經中上帝創造世界時的景象。
李恆輕輕拍了兩下手掌道：
“很好，現在你已經學會了創造自然數集合的規則，掌握了無中生有的力量。”
就這麼簡單？
阿基里斯望着這片自己創造的純白無暇的世界，有些不太自信地問道：
“我怎麼覺得……這種創造世界的方法一點都不唯物呢？”
這也太唯心了吧，簡直就像是宗教神話一樣。
“的確如此。”
李恆贊同地說道：
“一開始我以爲自己的力量來自於信息場，我使用的力量類似於真空零點能，這個超級信息網絡就像是量子比特海洋的升級版。”
“後來我才發現，這種無中生有的力量是我的身體所自帶的。”
“這種力量來自於我身體內容納的公理規則，以這些公理爲基礎誕生的龐大世界反而是細枝末節。”
“總之，這些公理的力量就像是普通人面對着永恆暴脹一樣，我們能做的只是習慣它們的存在。”
好吧，那就先用着再說。
阿基里斯也不尋根究底。
原始人不明白自己大腦中的億萬細胞是如何能夠正常咿D的，但這並不妨礙它們用這顆大腦的力量去打獵和尋找食物。
“但是，以上這種方法只是在自然數集合範圍內的定義。”
“我們現在不僅要從空集開始定義自然數、有理數、實數，還要用它定義包括無限大數和無限小數在內的超實數。”
“想要定義如此繁雜豐富，數量比N1還要多得多的數，僅僅使用這種舊的公理規則是不夠的。”
“發現了嗎，我們的研究直接從實數跳到了超實數，卻沒有去談論虛數和複數。”
“這是因爲複數域不是有序域。”
複數，四元數，這些數都是對實數的擴充。
但這些數與實數有本質區別，它們不能比較大小。
聯繫幾何的概念，複數是存在與複平面上的數。
四元數又被稱爲超複數，是存在於空間中的數。
平面和空間的情況顯然與直線不同，代表着點的數與數之間沒有單純的“左”和“右”的關係。
因此這些數也不能像是分佈在數軸上的數那樣，進行大小比較。
類似於有理數域、實數域和超實數域這樣可以比較大小的數域，就稱作有序域。
這種有序性顯然與數在數軸上分佈的左右關係是一樣的。
“有序性，是戴德金分割？”
阿基里斯反應了過來。
數軸上分佈的數具備有序性，彼此之間可以比較大小。
因此就可以使用分割數軸的方式，用兩個左右互斥的集合來準確定義一個數。