作者：橘子汽水西瓜味
生命5.0階段，超脫時間束縛，觀察到真實靜止宇宙的5階信息生命體。
這5個生命階段的所有生命體，他們的計算能力都等價於圖靈機，終其一生有可能知曉的知識都在這條邊界之內。
不可計算數的一個實例是蔡廷常數，選擇任意一種編程語言，隨意輸入一段代碼，該代碼能夠成功咝衼K且能夠在有限時間內終止的概率。
除此之外，還有許多不可計算函數，這些函數都不能在有限次咚銉鹊玫浇Y果，算法複雜度也是無限。
但是，雖然這些不可計算數和不可計算函數的算法複雜度是無限，人類卻可以給它們下一個準確的算法定義。
可定義，是指可以給出如何計算它的指令，即使這個算法不能在圖靈機上實際執行。
因此，人類所知的不可計算數，本質上都屬於可定義數的範圍。
顯而易見的一點是，不論是使用0和1的二進制表示，還是使用漢字、英文或者宇宙中其他星球上的外星人的自然語言，有限的人類準確定義一個數的算法使用的字符數量都是有限的。
每一個可定義數都是有限的，所以全體可定義數構成的集合也是可數無限N0，無法與全體實數一一對應。
“綜上所述，實數是不可知的。”
“雖然名爲實數，但就像直觀的連續性一樣，它們一點都不現實，位於人類的世界之外。”
“真正讓實數集成爲不可數無限的正是那些不屬於可定義數集合的不可定義數。”
“無限的基本特徵就是部分等於整體，有限的人類所能認知的一切都是可定義數集合中的元素。”
“這些數作爲可數無限集合中的元素，蘊含的信息是可以被壓縮的，可以用有限的信息進行準確定義。”
“但實數集是不可數無限，這個集合中的元素具備了純粹的實無限性質，它們是不可以被壓縮簡化的，人類無法使用有限的字符準確定義它們。”
“想要認知這些不可定義數，必須擁有能接收無限信息的大腦，從圖靈機的有限世界踏入超圖靈機的無限世界。”
有限，可數無限，不可數無限。
有限的凡人只能認知有限的事物，這些事物都是屬於可數無限集合中的元素。
人類可以準確認知比自己高一個層次的可數無限集合中的元素，用理性和邏輯處理這些無限集合。
但對於更高層次的不可數無限，人類沒有任何辦法去觸及它。
那裏與有限的凡人世界隔着兩個層次，裏面的每一個元素都是不可言及的不可定義數，只有無限領域的生靈才能認知那個世界。
對於實數集中那些不可言及的元素，人類只能像是道德經中一樣，用“不知其名，強字之曰道”的方法，把它們稱作不可定義數。
第721章 人與神的界限
連續統問題是希爾伯特第一問，另一個問題是關於可判定性的。
在有限的時間內，是否總有可能找到一個步步推進的程序，對一個給定的數學命題的真僞進行判斷。
哥德爾不完備定理粉碎了這種可判定性。
它證明了在任何邏輯統一且大到能夠包含所有算法規則的公理體系中，總有一些數學事實無法被證明。
但哥德爾不完備定理依舊給數學命題是否可證留下了一道門。
雖然每一個自洽的公理系統中都存在不可被證明的數學事實，但能否找到一系列的步驟或算法，來判定任何給定的數學命題是否可證。
就像是哥德爾在證明不完備定理時做的那樣，證明一個數學命題的不可證明性。
關上這扇門的是圖靈和圖靈機的停機問題。
沒有一種通用的算法可以判定所有的輸入結果是否會出現停機，希爾伯特判定問題無法被解決。
無論一個程序多麼巧妙，在任何情況下，它都無法計算出其他程序是否會終止。
許多數學事實不僅不可證明，甚至連它們是否可以被證明都無法確定。
這些問題就被稱爲不可判定問題。
在數學中，證明命題的難度分爲幾個等級。
有些命題有短的公理性證明，它們的證明簡潔美麗。
在現代計算機出現之前得到證明的命題都是這一類，也是大部分人所熟知的證明。
有些命題沒有短的公理性證明，但採用計算之後有短證明，比如四色定理。
有些命題就算用上了計算，也還是隻有長證明，不可能在一塊黑板上用粉筆寫下完整的證明。
並不是所有的數學問題都很簡單，能做的證明都能在幾頁紙內寫完。
『我有一個絕妙的證明，但空白處太少，我寫不下』
這句話用在不可判定問題上恰如其分。
李恆敲了敲桌子上的芝諾機道：
“雖然無法窺探不可數無限集合中的無限元素，但有限的人類至少能研究可數無限集合中的有限元素，以此確定可數無限的某些性質。”
“超圖靈機就是這樣一類假想的計算機器，它們的計算能力從有限次擴展到了無限次。”
阿基里斯凝神看去，只見那張紙上多出了一個標題【圖靈度層級】。
她的那臺芝諾機所在的位置與標題幾乎重合在了一起，旁寫着0（1）的字樣。
“這裏就是超窮序數出場的時候了。”
“超窮序數衡量的是無限序列的長度，也就是超圖靈機進行是、否判定的次數。”
“地球上普通的超級計算機能做到每秒數百億億次的計算，這臺芝諾機則能做到在1秒內完成無限次計算。”
“因此，這臺芝諾機的算力就是ω。”
阿基里斯聽得下意識點了兩下腦袋，表示“我已經完全明白了”。
這比起剛剛那個名叫哥德爾的老頭講的連續統問題簡單太多了。
那個老頭說的話就跟天書似的，很難把這樣一個老頭與深度被害妄想症患者聯繫在一起。
在之前那段辕煏r間裏，她所做的只是保持着尷尬且不失禮貌的微笑，裝作自己正在觀賞壁爐中跳動的火焰。
“既然它的算力是ω，那麼旁邊的那個0（1）又是什麼意思？”
阿基里斯猜測道：
“是不是表示這臺芝諾機算力的另一種符號？”
李恆點頭道：
“沒錯。”
“最原始的超圖靈機模型是預言機，又稱諭示機，它可以被視爲多了個黑盒子的圖靈機。”
“預言者能解答的問題可以是任何複雜度之內的問題，甚至可以使用不可判定問題，像是停機問題。”
“不過，當一臺諭示機配備了一個能解答停機問題的預言者時，我更喜歡把它稱作神諭機。”
諭示的原文oracle的意思就是“神的宣佈”，也就是神諭。
圖靈是無神論者，他相信物理世界是可計算的，神是不存在的，所以神諭當然也不存在。
在圖靈眼中，能解答不可判定問題的超圖靈機，宛如神諭。
“圖靈機無法解決停機問題，但神諭機卻可以解決停機問題，顯然它的計算能力比圖靈機更強。”
“利用停機問題，就像從有限到無限的跨越一樣，能夠得到一臺計算能力超越圖靈機的超級計算機。”
“一臺能解決停機問題的神諭機，就等價於能進行ω次計算的超圖靈機。”
“將圖靈機可解決的問題難度稱作是0，停機問題的難度就是0＇，從0到0＇的過程則稱作是一次圖靈跳躍。”
“所謂的0（1）就是這個意思，它代表的是一次圖靈跳躍後抵達的位置，是衡量超圖靈機能解決的問題難度的層級。”
“不可判定的問題無窮無盡，但這些不可解問題的難度卻各不相同，連續統問題就遠比圖靈機的停機問題困難得多。”
李恒指着身前紙上的標題道：
“圖靈度層級，也稱爲不可解度層級，它描述的是那些圖靈機不可判定的問題的難度。”
“將一個大數進行質因數分解，顯然比計算10以內的加減法要困難得多。”
“前者是普通地球人無法完成的任務，超出了他們大腦的智力範圍。”
“因此，換個簡單易懂的說法，可以將它稱作是智能層級，用於衡量生靈、文明的智能水平。”
智能層級……
比起圖靈度和不可解度這樣的詞語，智能這個詞就顯得有些直白，甚至是刺眼了。
阿基里斯看着位於那條線上方，密密麻麻擠作一團的文字，微微撇了撇嘴角。
那些縱橫多元宇宙、壽命無窮無盡、以星辰宇宙爲細胞的強大生靈，在這張紙上卻只是一羣智能水平爲零的弱智，和單細胞草履蟲處在同一個位置。
那條線是人與神的分界線。
每個人眼中看到的世界是不一樣的，他看到的世界與普通人認爲的“全世界”顯然不是一回事。
難怪這傢伙會把她稱作是世界上獨一無二的垃圾。
他只是平等地把世間每一個有限的生靈當做是毫無價值的垃圾。
無論是統治着諸天萬界的超級文明，還是她這個貧民窟裏喫了上頓沒下頓的小乞丐，都是世界最底層的笨蛋窮鬼。
“還真是天地不仁啊。”
阿基里斯心中輕嘆一聲。
她只是對方佔據的無限種可能性裏的其中一種。
沒有什麼特別的和不特別的，一切僅僅只是單純的存在而已。
只要存在這種可能性，他就會佔據這種可能性。
“任何數學體系都有不可證明的命題，即使是超圖靈機，也無法判定自身的停機問題。”
“通過構造能解決圖靈機停機問題的神諭機的停機問題，就能完成一次新的圖靈跳躍。”
“每一次圖靈跳躍都能得到一個新的圖靈度，將經過n次圖靈跳躍得到的圖靈度稱作0（n）。”
“所有圖靈度組成了一個複雜有序的結構，並且在每個圖靈度層級之間，顯然還有更復雜的中間結構存在。”
“即使是在0（1）和0（2）之間，也有着無窮箇中間層級。”
“圖靈度層級根據問題的不可解度對計算能力進行了嚴格的分類，位於高層級的存在對於下層級是智力上的絕對碾壓。”
“通俗的說法就是，高圖靈度對於低圖靈度而言是全知全能的。”
李恆的手指在報紙上輕輕敲擊，從那臺芝諾機所在的位置開始，刻畫出一個無限綿延的層級。
這個層級是如此的複雜和稠密，在任意兩個可見的圖靈度之間，還有着無限數量的中間結構。
“0（ω），0（ω^2），0（ω^ω）……”
阿基里斯仔細觀察着報紙上那複雜的圖靈度層級不停地向下延伸。
就像是用構造冪集的方式構造阿列夫數一樣，圖靈度層級也使用圖靈跳躍的次數描述，括號裏的那些數是超窮序數。
當圖表一直延伸到0（ε0）的時候，李恆停下了移動的手指，抬起手掌探入了虛空中的某個遙遠世界。
下一刻，一座金光閃閃的佛像出現在了這裏。
佛像身材瘦削，面目慈悲，雙手合十在身前，身體周圍有陣陣梵音飄蕩。
“這是佛祖，來自一個叫做真實界的地方，衝擊無限領域後死了。”
“在他們那個世界裏，把這個佔盡未來的境界叫做道果。”
李恆把這具金光閃閃的佛祖手辦放在了寫着0（ε0）的位置。
“自然數，整數，有理數，代數數，可計算數。”
“這些數構成的集合都是可數無限，基數大小相等，但它們的複雜度卻是不一樣的。”
“圖靈度層級與這些可數無限集合的複雜度之間有着緊密的聯繫。”
“皮亞諾公理定義了自然數，根據哥德爾不完備定理，其中存在不可證明的命題，並且它的一致性也無法在自身體系內得到判定。”
“但是，這些問題可以在更大的體系內得到解決。”
“通過引入超窮序數最小不動點ε0，皮亞諾公理定義的自然數體系中不可證明的古德斯坦定理可以被證明。”
“同樣的，皮亞諾公理的一致性也可以在超窮序數ε0中得到證明。”
每個數學系統都有一定的序數強度，決定了系統能夠表達和不能表達的序數。
皮亞諾算術體系的序數強度爲ε0。