作者：橘子汽水西瓜味
這意味着皮亞諾算術體系可以表達ε0以下的任意序數，但不包括ε0本身。
在某些數學系統的內部，某些命題是不可判定的。
但更大、更包容的系統具有更大的序數強度，能以一個不同的系統來論證這些命題。
雖然這個容納了ε0的新體系的一致性也需要藉助一個比自身更大的系統才能進行判定。
李恆輕輕敲了敲佇立在面前的佛祖金身手辦，讓它發出一陣清脆的響聲。
“量子比特海洋中一片完整的宇宙海，或者將其稱作一座次元世界，它對應的就是最簡單的無限集合，自然數集。”
“在皮亞諾公理定義的自然數範圍內，能容納超窮序數ε0的佛祖就是全知全能的。”
從佛祖的金身手辦開始，他繼續向下構造更大的序數。
ε0，ε1……完成了整個ε層級，然後進入了一個新的序列。
描述無限的體系繼續延伸，一些奇奇怪怪的符號不斷出現，最終停在了ω_1^ck的位置。
李恆再次伸手探入虛空，一隻毛茸茸的海狸被他從遙遠世界中拉了過來，放在了這個符號的旁邊。
“丘奇—克林序數，可計算序數的上確界。”
“我們之前見過的牛頓和萊布尼茨，還有躺平老頭康托爾。”
“雖然他們生存在無窮小的無理數世界裏，身體中每一個無窮小的基本組成部分都容納着無限信息和能量，但都在這隻忙碌海狸的力量掌控範圍內。”
將這隻毛茸茸的海狸放下，李恆伸手從標題位置拿過那枚粉白色的螺旋狀鑰匙，將它放在了海狸的下方。
“芝諾機能在有限的時間裏完成無限的計算，但這只是普通的芝諾機。”
“將芝諾機的計算時間放寬到超限序數時間，就得到了芝諾機的泛化模型，無限時間圖靈機。”
最後，在這臺無限時間圖靈機的下方，李恆在報紙的末尾處再次劃上了一條線。
如同從有限到無限、從人到神的跳躍一樣，這是一條不可逾越的分界線。
在它的下方是實數連續統。
阿基里斯從頭到尾掃過這張報紙。
她無法看到這上面的全部，每一個圖靈度層級中間都有着無限數量的中間層次，圖靈跳躍的次數更是遠超她的想象。
有限的凡人在這張描述神的力量層次的圖表中，只佔據了標題附近可憐的一點點地方。
雖然這麼一點點地方就已經遠遠超出了凡人所能知曉的世界範圍，是一種極大的優待。
如果按照真實的大小比例來描繪，這裏只會剩下最後的實數連續統，其他的一切都不會存在。
人類能理解的邏輯中不存在宗教意義上全知全能的唯一神。
無論是多麼強大的存在，總是無法對自己進行判定，只有依賴於更強大的外部觀察者才能判定自身。
但是，即使是最弱小的超圖靈機，它不可解決的問題也在有限的凡人的認知邊界之外。
超圖靈機的能力存在上限，它們也會有錯誤，但這些錯誤對於人類來說是不可證明也不可證僞的。
對於生命1.0～生命5.0階段的有限生靈，任何一臺超圖靈機都是永遠不會犯錯的神，能解答他們過去已經解決、以及未來所有可能解決的問題。
在無限綿延的圖靈度層級上，有限的凡人位於圖靈度爲0的最底層，只能解決那些最簡單的可計算問題。
任何一個位於更高圖靈度層級的問題對於他們都是永遠不可解決的難題，無論耗費多少時間、付出多少努力都沒有用。
對更高圖靈度層級的超圖靈機而言，位於圖靈度最底層的凡人都是智力爲零的蠢蛋。
在這層意義上，可以把圖靈度層級稱作是全知全能層級。
這張圖表上刻畫的是全知全能的神之領域。
每一個圖靈度代表着的都是無數個凌駕於有限世界之上，佔盡未來一切可能性的無限生靈。
第722章 自由意志與隨機性
“三次數學危機到此爲止全部結束。”
“最後談一談人的自由意志。”
“說起全知全能，除了宗教中全知全能的唯一神，還有另一個人類想象中全知的生物，也就是物理四神獸中的拉普拉斯妖。”
“這種假想生物知道宇宙中每個原子確切的位置和動量，能使用牛頓定律來展現宇宙事件的整個過程，過去以及未來。”
“這是一種機械唯物主義的思想，整個宇宙就像一臺穩定有序，沒有任何一步會有所偏差的機械。”
“它強調一切註定的宿命論，認爲一切從開始就已經決定了，人類沒有絲毫的自由意志。”
李恆伸手探入虛空中，不知從哪裏拿過來一個腦袋上長着一隻大眼睛的小黑人。
“殺死拉普拉斯妖的是不確定性原理和混沌效應。”
“人類不僅無法觀察到每一個粒子確定的位置和動量，更沒有能力準確計算它們未來的邉榆壽E。”
“物理世界是真隨機的，人類具有自由意志——在有限世界的範圍內。”
“無限算力的超圖靈機並不受這些物理規則限制，不確定性原理與混沌效應的極度複雜性並不能給超圖靈機帶來任何困擾。”
“因此，人類有限的物理世界對超圖靈機沒有任何未知之處，一切都是確定的、已知的。”
說到此處，李恆用手指彈了彈手中那隻腦袋上長着大眼睛的小黑人。
“一臺超圖靈機就是一隻理想的拉普拉斯妖。”
“圖靈度層級可以被稱作全知全能層級，用於衡量超圖靈機解決不可判定問題的能力。”
“它也可以用於衡量一隻拉普拉斯妖對未來可能性的計算能力。”
“無限的算力、無限的能量，從而能做到計算過去、現在、未來的一切可能性——但僅限於有限的範圍內。”
這隻外貌長得像是瓶中小人的拉普拉斯妖晃了晃腦袋，頭上的大眼睛中閃爍着狡黠的光澤，似乎正在暢想着自己的某些計劃。
但緊接着它腦袋上的大眼睛就突然瞪得滾圓，驚愕地看向桌上那隻毛茸茸、圓滾滾，正在呼呼大睡的海狸。
“海……海狸？！”
阿基里斯眼睜睜地看着這隻拉普拉斯妖的大眼睛突然失去了一切光彩，它的腦袋慢慢垂了下去，徹底沒有了聲息。
“額……它就這樣死了？”
這也太沒用了吧，好歹也是號稱全知的拉普拉斯妖。
李恆點點頭道：
“拉普拉斯妖，計算一切可能、預測一切未來。”
“它想要去計算那隻忙碌的海狸，但這遠遠超出了它的能力範圍，所以就把自己卡死了。”
“它從忙碌海狸的身上接收了算法複雜度超過自身能力極限的信息量，被那份信息給徹底吞沒同化了。”
“每一個圖靈度層級都是一次圖靈跳躍，兩者之間的智能差距等同於從有限到無限的跳躍。”
“下層的神妄想直視上層的神，自然是死得徹徹底底。”
“這種舉動無異於把地球人直接扔到太陽上，比飛蛾撲火還要愚蠢得多。”
“如果知道自己沒有行走在太陽表面的能力，普通人最好不要去做這種蠢事。”
阿基里斯眼睜睜地看着那隻黑漆漆的拉普拉斯妖變作一根淡黃色的柔軟毛髮，融入了桌上那隻海狸的身上。
即使同爲可數無限，每一個圖靈度之間的差距也是不可逾越的。
上層對下層是全知全能的，佔盡了一切可能性，如同有限的人面對着無限的神。
一隻能計算凡人世界一切可能性的拉普拉斯妖，只是看了一眼桌上的那隻海狸就死掉了。
她之前感受到的那種不祥的氣息可能就是這種東西。
不，肯定不是。
她感受到的最多隻是一絲微不足道的殘影。
否則的話她早就像是這隻拉普拉斯妖一樣死了，自身的一切都被徹底吞沒。
那種不祥氣息的本體是一段包含着無限信息量的訊息，來自於那個超越了人類理性邊界，無法用語言進行描述的世界。
那是不可數無限集合中的元素，不可能用有限的信息對其定義。
嘴脣微張，輕輕吐出一口氣，將身體對死亡的本能恐懼再次壓了下去，阿基里斯表情自若地開口道：
“我明白了，算法複雜度、隨機性，以及人的自由意志，彼此之間有聯繫。”
“就像π一樣，圓周率尚未被計算出來的那些數對於人類來說是完全隨機的，它們表現得就和量子不確定性一樣。”
“但是，π的算法複雜度其實很低，計算π的算法即使是一個普通地球人的大腦也能全部記下。”
“可以認爲，π的算法就已經包含了這個超越數的無限位小數的全部信息，這個數其實是已經完全確定的，沒有任何的隨機性。”
“人類感受到的隨機性只是一種假象，隨機性的本質源於未知。”
李恆點點頭。
“沒錯，隨機性源於未知。”
緊接着他又搖搖頭。
“這個說法有些問題。”
“雖然人類能體驗到的一切都是已然存在的確定事件，被記錄在那些無限的巴別圖書館裏。”
“但人類主觀感受到的隨機性不是假象。”
“人類是擁有自由意志的。”
“排中律否定了宗教意義上全知全能的唯一神，每個人都是生而自由的，沒有什麼註定的宿命。”
所謂全知全能、佔盡未來，這些詞語都有着各自的限定範圍。
任何科學理論都有它的研究對象，這些對象構成一個不空的集合，稱爲論域。
比如地球人口中所說的世界，一般指的是“地球人類文明的世界”，也就是地球這顆岩石星球表面那5.1億平方公里的區域。
世界上的每一個人都會死，這句話顯而易見爲真。
但這僅限於在地球人的人類文明中，不包括幾百年、幾千年後的未來人類，也不包括遠在十億光年外的外星人。
一切真理都有其適用範圍，全知全能和佔盡未來這兩個詞也都有着特定的論域。
圍棋有3^361種可能性，能容納3^361比特的信息量就可以做到在圍棋上全知。
在圍棋的規則內，這就足以窮盡一切可能性。
但這並不能保證下棋者一定獲勝，因爲對面的人也許會做出規則之外的事，比如直接掀棋盤打人。
這個掀棋盤的打人者就是不在圍棋規則內的未知因素。
有不被掌控的未知因素加入，全知就被打破了，新的未知可能性出現。
一個地球人，終其一生能接受的信息量不超過10^17比特。
以地球人的大腦作爲基礎，所有可能存在的地球人的記憶共有2^10^17種可能性。
2^10^17比特的信息量就能佔盡地球人一切可能的未來。
只要地球人的大腦沒有進化，那麼在這個集合中就能找到過去、現在、未來所有可能出現的地球人的記憶。
能容納這份信息，就可以說對於地球人而言是全知的。
人類很弱，活動範圍很小，可能認知的世界也很小。
所以佔據他們一切可能的未來並不比窮盡圍棋的可能性困難多少。
佛祖的力量層次是ε0，他的全知全能是在皮亞諾公理定義的自然數集合範圍內。
超出這個範圍，進入了不在自然數集合內的有理數、無理數對應的世界，他就不再是全知的。
這種無限向上追溯的過程就像是尋找第一推動力一樣。
實際上根本沒有掌控一切的唯一神，也沒有什麼第一推動力。
“π小數點後第一位的1和其他位置的1代表的含義是不一樣的，即使它們表面看起來一模一樣。”
“將這種觀點從有限世界推廣到無限世界也是成立的。”
“在有序的序數世界觀下，世界上的每一個人都是獨一無二的存在，在世界中佔據了一個獨特的位置。”
“即使有着無限的多元宇宙、平行宇宙，有着無盡數量與自己外貌、基因、記憶都一樣的人，你也可以確信自己是獨一無二的阿基里斯。”
李恆抬起手敲了敲自己的額頭道：