作者：橘子汽水西瓜味
第一條，任何一致的形式系統，只要蘊含皮亞諾算術公理，就存在一個在系統中不能被證明的真命題。
如果一個命題爲真，直覺上總是可以在系統內被證明出來，而不完備性定理否認了這一點。
第二條，任何一致的形式系統，只要蘊涵皮亞諾算術公理，就不能證明其本身的一致性。
也就是說，一個公理系統的自洽性是無法在自身體系內被證明的，必須依賴於更高階的系統。
在皮亞諾算術公理定義的自然數系統中，古德斯坦定理就是這樣一個例子。
它是一條有關於自然數的命題，但在定義這個命題的公理系統內部，卻無法證明這個命題。
該定理可以在更高階的系統下證明爲真，但在皮亞諾算術系統內是不可證的。
連續統假設也是這樣一個問題。
連續統問題追問的是實數子集的大小，其相關命題以實數子集爲概括對象。
每個實數相當於一個自然數子集，連續統問題所談論的對象就成了全體自然數子集所構成的集合的子集。
將直接概括自然數的算術稱爲一階算術，以自然數子集或者實數爲概括對象的算術爲二階算術。
那麼連續統問題就屬於三階算術。
康托爾是在由戴德金分割定義的實數系中發現的連續統假設，但這個問題在實數模型內部卻是不可判定的。
哥德爾形式證明了連續統假設的一般形式與ZFC公理是一致的。
如果把連續統假設作爲公理加入集合論的這些公理中，不會產生任何邏輯矛盾。
科恩證明了一般的連續統假設的否定命題也可以加入ZFC中而不產生矛盾。
因此，連續統假設與標準的集合論公理是互相獨立的。
它類似於平行公理相對於歐幾里得幾何的其他公理的地位，集合論的標準公理既不能證明也不能否定它。
根據連續統假設是否成立，可以像是歐幾里得幾何與非歐幾何一樣，構造出不同的集合論系統。
這就是康托爾失敗的原因。
連續統假設的邏輯獨立性就意味着它既不爲真又不爲假。
集合論中亂成一團的悖論和不可證性可以說是允許非構造的概念——尤其是實無窮，進入數學的自然後果。
第720章 不可知，不可論
自我指涉的悖論確定了理性的邊界。
在任何數學體系中，總有一些東西無法從自身體系內部證明或證僞。
它揭示出在人類的邏輯中，全知全能的神不存在，絕對無限也不存在。
如果強行設定一個包含一切的唯一神，創造一個能破除自指悖論的全能上帝，那這個體系就必定是不自洽的，充滿了自相矛盾的東西。
因爲神是全知全能的，所以神可以創造自己舉不出來的石頭。
因爲神是全知全能的，所以從皮亞諾公理可以推出1=0。
反正只要神認定的就是絕對的。
一個自相矛盾的體系中，一切命題都可以爲真，也都可以爲假。
在這種不自洽的體系裏，所有的命題都沒有真假對錯可分，跟瘋子的胡言亂語沒什麼差別。
這種強行設定只會變成單純的神學信仰。
這也是數理邏輯和神學最大的區別。
神學否定排中律與自指悖論，直接承認全知全能。
成爲信徒的第一步就是拋棄自己的邏輯思維，認可神是絕對正確的，可以做到人類邏輯中自相矛盾的事情。
都已經承認全知全能，允許自相矛盾的東西存在，那也沒什麼繼續討論的必要了。
信仰的力量很強大，宗教也在地球的人類史上留下了深刻的痕跡。
但人類所在的無垠宇宙並不在乎地球上幾十億人的宗教信仰，它有自己的規則。
允許自相矛盾的全知全能在宇宙的自然規律面前終究是無能爲力，不過是自娛自樂。
數理邏輯則肯定排中律，拋棄了數學的完備性，承認數理邏輯並非絕對真理，任何數學系統都存在着缺陷。
以不自相矛盾作爲討論的前提條件，那就沒有絕對無限。
於是也就沒有什麼絕對無敵、絕對永恆、絕對永生之類能被冠以絕對之名的東西。
無論是多強大的存在，總是存在不受掌控的外部世界，有着自己無法佔據的未知可能性。
“至大無外，謂之大一；至小無內，謂之小一。”
“自指悖論否定了至大無外的絕對無窮，連續統問題則是對至小無內的研究。”
“自然數集是第一個無限集合，集合中有無窮個元素，但其中的每一個元素都是一個有限的自然數。”
“將它稱爲一階算術，對應可數無限。”
“實數集是自然數集的全體子集構成的集合，有不可數無限個元素，但每一個元素都是可數無限。”
“將其稱爲二階算術，對應不可數無限。”
“連續統問題研究的是實數集的基數，實數集作爲不可數無限，是更高層級的集合中的元素。”
“因此它是一個三階算術問題，人類使用的大多數算術系統對它都無能爲力。”
李恆總結了一遍連續統問題，接着用食指敲了敲桌子道：
“複雜的數理邏輯暫時就到此爲止，接下來討論一些更簡單的東西。”
“雖然排中律的限制否定了絕對無限和宗教意義上全知全能的唯一神。”
“但這個世界上確實存在着與有限的凡人位於兩個世界，足以被稱爲神的領域。”
“道可道，非常道；名可名，非常名。”
“能用人類的語言表述出來的道並不是永恆常在的真正的道。”
“在人類可以言及的宇宙之外，還有着更廣闊的未知永恆世界。”
“有限的人能掌握宇宙的物理規律，用短短的幾行公式描述無限宇宙的規則，本質上是因爲實無限比有限的狀況更簡單。”
“無限的複雜度比有限的複雜度更低，因此無限宇宙的咿D規律纔可以被壓縮在一張普通a4紙上的數學公式中。”
“這些數學公式就是描述無限宇宙的最簡算法。”
“但是，所有的實無限複雜度都比有限的狀況更簡單嗎？”
“所有無限的實體都可以像是圓周率π一樣被壓縮、簡化，變成一小段精確的數學公式，卻不丟失自身的任何信息嗎？”
說到此處，李恆向着靠在壁爐旁的阿基里斯緩緩地伸出了右手。
那散發着不祥氣息的手掌慢慢靠近，帶着阿基里斯此前從未感受過的壓迫力，彷彿是來自某個黑暗不可見的深淵。
無論是一念毀滅無盡星域的畢達哥拉斯，還是化作恢宏大日照耀着無窮小的無理數世界的牛頓和萊布尼茨兩大天尊。
這些強者在這不祥氣息帶來的恐怖壓迫感面前完全是小巫見大巫，根本不在同一個層次。
“……不祥氣息是個什麼鬼啊？”
阿基里斯微微甩了甩腦袋，努力將這個突然冒出來的奇怪想法甩了出去。
隨着時間的推移，這些奇怪的想法越來越多，不停地從腦海深處冒出來。
它們來的是如此的自然，讓她感覺似乎就是自己的想法，卻偏偏有着不合理的奇怪內容。
這讓她清晰地感覺到自己正在窺探某個位於人類智慧邊界之外的詭異之物。
並且，她正在逐漸被那個不可直視的龐然大物散逸出來的些許信息淹沒、同化。
阿基里斯壓下身體的本能恐懼感，不閃不避地看着那隻手掌抓住了她胸前掛着的粉白色螺旋狀吊墜。
她臉上做出若無其事的表情，開口問道：
“超圖靈機？”
這個詞她很早就聽過了，只知道這種機器幾乎可以和“實無窮”的力量劃個等號。
但每一臺超圖靈機的力量究竟有多強，與同樣屬於可數無限的自然數、有理數、代數數之間又有什麼關係，那她就不太清楚了。
“嗯，比起哥德爾不完備定理，超圖靈機要更容易理解一些，是相對而言更爲具體的東西。”
李恆拿過那枚粉白色的螺旋狀吊墜，將它放在了面前的那張報紙上。
“解決了第三次數學危機以後，人類對於無窮的認知比康托爾的樸素集合論更清晰了。”
“與哥德爾不完備定理很類似的問題是停機問題，即判定一臺圖靈機是否能正確地完成計算並停機的過程。”
“這個問題是不可判定的，它同樣涉及到自我指涉的悖論，也就是這臺圖靈機自己判定自己能否停機。”
“但是，就像數理邏輯中那些不可證明的問題可以在更高階的系統中解決一樣，停機問題並非是絕對不可解決的問題。”
“能夠解決一切圖靈機的停機問題的計算機器，就被稱爲超圖靈機。”
李恒指了指桌上的那臺芝諾機道：
“有沒有覺得和集合論裏從自然數到全體自然數集合的情況很相似？”
阿基里斯點了點頭，兩者的情況的確很像，明顯有着緊密的聯繫。
“計算，本質上就是一系列的是、否判定過程。”
“哥德爾不完備定理的證明方法就是如此，通過將形式符號轉化成對應的哥德爾數，把推理證明變成機械的計算過程。”
“圖靈的做法也很類似，他將圖靈機標準化到可以用一個整數來唯一確定一臺機器，這一整數將機器的所有狀態進行了編碼。”
“每一個整數都是有限的，它們是由一連串的判定得到的有限序列，屬於圖靈機的能力範圍。”
“所有圖靈機構成的集合就是全體整數的集合，也就是可數無限N0。”
“每一臺圖靈機都能執行一個特定的算法，但所有圖靈機構成的集合與不可數無限N1無法形成一一對應。”
“因此，被人類稱爲實數集的集合中，顯然存在着不可數無限個不能用圖靈機通過有限次計算寫下的數。”
“將那些可以被圖靈機計算的序列稱作可計算序列，這些序列構成的數就是可計算數。”
“自然數，整數，有理數，代數數，以及圓周率π、自然常數e等等超越數，它們都屬於可計算數。”
“人類所知的無理數，雖然它們都是無限不循環小數，但它們的算法複雜度卻很低。”
“一個很簡單的算法就能生成一個確定的無理數，它們屬於可以被壓縮簡化的簡單實無限。”
“描述這些可計算的無理數就像是人類總結無限宇宙的物理規律一樣，可以將無限的信息壓縮成短短的一個數學公式而不損失任何信息。”
李恆用食指在報紙上劃了一條線，分割開了上下兩個世界。
在這條線的上方是一大堆緊緊地擠在一起、密不可分的微小字符，在這張報紙上佔據了極爲可憐的篇幅，不用顯微鏡都看不清具體細節。
它們是從生命1.0～生命5.0的不同戰鬥力等級。
戰鬥力等級9級的一級文明，18級的二級文明，30級的三級文明，大於10^40級的黑洞生命體，以及戰鬥力等級潛無限的信息生命體，全都在這條線的上方擠作一團。
在這條線的下方，就放着那枚粉白色螺旋狀吊墜，一臺芝諾機。
“不可計算數不是簡單的實無限，它們是不可被壓縮簡化的。”
“每一個不可計算數的算法複雜度都是無限。”
“萬物源自量子比特，物理宇宙的客觀存在就等價於信息計算，有限的人類的智慧就等價於只能進行有限次計算的圖靈機。”
“不能被圖靈機寫下的不可計算數，同樣也不可能被人類的大腦計算。”
“無論這個人是地球上的普通碳基生物，還是超越可觀測宇宙邊界，以億萬星辰爲細胞的文明級生命體。”
知識就是力量，全知即是全能。
有些知識太過沉重，必須要無窮的信息和能量才能承載。
這些沉重的知識位於一切有限領域生靈的認知範圍之外。
那裏是一個明知存在，但卻永遠不可知曉具體形貌的未知黑暗領域。
生命1.0階段的草履蟲。
生命2.0階段的智人文明。
生命3.0階段的掌握完美基因編輯能力的人類文明。
生命4.0階段超越光速限制，沒有體型上限和通訊速度限制的文明級生命體。