作者：橘子汽水西瓜味
“戴德金分割用有理數分割定義實數，並沒有給定一些得以構造出集合A和B的數學規則。”
“『如果數軸可以劃分爲A和B』，卻沒有給出任何可以實際構造出這些集合的方法或程序。”
“無論如何，這些集合實際上是不可構造或驗證的。”
“不僅如此，康托爾證明實數集C、自然數集的冪集N1等等集合是不可數無窮時使用的也是反證法，依賴於排中律。”
阿基里斯從那寫着“我們必須知道，我們必將知道”的葉片上收回目光，看向自己肩膀上貼着的便籤。
“排中律有問題？”
在不可數無窮上遇到的困難似乎就是源於排中律。
一個數學命題爲真，或者爲假，這應該是理所當然的。
“沒錯，排中律就是第三次數學危機的源頭。”
“更深入的說，是排中律隱藏着的人類最基礎的邏輯問題。”
李恆抬手敲了敲墓碑上的黑白照片道：
“說謊者悖論、上帝全能悖論、理髮師悖論等等。”
“這些悖論的本質都是自我指涉問題。”
“『我說的這句話是謊話』，這句話是真是假？”
如果說的是真話，這句話就是謊話。
如果說的是謊話，那麼這句話就是真話。
這個古老的邏輯悖論就是第三次數學危機的根源。
它在康托爾的樸素集合論中被放大，成爲了一個必須解決的問題。
第719章 理性的邊界
天空萬里無雲，耀眼的太陽炙烤着大地，一座安靜的磚房裏，一名頭髮灰白的老人坐在木椅子上低聲抱怨道：
“醫生，這天氣太冷了。”
老人穿着量身裁剪的西裝，衣襬整齊地塞進褲子裏，灰色的頭髮從前額向後梳得一絲不亂，戴着一副常見的圓框眼鏡。
即使在陽光的照耀下室內的溫度已經接近了夏天，這名看起來一絲不苟的老人依舊穿着厚厚的毛衣。
椅子對面的辦公桌後看不到人影，只有一張巨大的灰白色紙質報紙遮擋住了前來看病的老人的視線。
“嗯……的確是有一些冷。”
“阿基里斯，再給壁爐添上一些柴火，不要凍着這位老先生。”
一旁身上同樣包裹得嚴嚴實實的白髮女孩應聲行動，她的目光看向一旁燃燒着溫暖橙色火焰的壁爐。
也不見她有什麼具體的動作，下一刻那壁爐裏的火焰便像是被施了魔法一樣熊熊燃燒，看起來比透過窗戶照進來的陽光還要閃亮一些。
“噢，這感覺可真不錯。”
戴着圓框眼鏡的老人感受着近在咫尺的火焰略微放鬆了一下身體，他的眼睛看向那位隱藏在寬大報紙背後的醫生。
“說實話，醫生，若不是因爲害怕失約會讓我的妻子生氣，我根本不想來這裏。”
“我並不覺得自己在接受治療，我們之間的會面不如說是定期的好友聊天。”
隱藏在報紙背後的醫生卻並不像往常的會面一樣去關注老人的精神狀態。
他不再試圖去扭轉老人的想法，不再試圖去挑戰患者——他表現得對眼前的病人漠不關心，完全沉浸在自己眼前的報紙上。
老人看到醫生握着報紙邊緣的手指略微收緊了幾分，聽到他口中低聲喃喃道：
“連續統問題，明明是在人類的理性邏輯中誕生的問題，最終卻只能得到一個不可證明爲真也不可證明爲假的結論。”
『連續統』這個字眼讓表情一絲不苟的老人突然集中了精神，他用不符合自己那乾瘦外表的哄亮聲音對着醫生道：
“連續統假設只是在某些形式系統中不可證明也不可證僞。”
“從已接受的集合論公理系統出發，得到對康托爾猜想不可判定性的證明，這絕不是問題的解決。”
“這只是因爲當前人類的數學體系還不夠完備，尚且無法解答這個問題。”
“連續統假設一定有一個確定的解答，或者爲真或者爲假。”
“事實上，我有強烈的直覺，康托爾的連續統假設是錯的！”
“最近這段時間我已經找到了一些證明的思路，連續統的基數應該是N2……”
這個往常總是不苟言笑，將治療自己精神病的醫生當做敵人對待的頑固老頭開始滔滔不絕地開始講述起了自己對連續統問題的證明方法。
在他面前作爲的醫生倒一反常態，從以前那個試圖扭轉病人想法的敵人變成了一個傾聽者，偶爾提出一些自己的問題。
直到近一個小時過去之後，戴着圓框眼鏡的老人才慢慢地從座椅上站起身來，語氣有些可惜地說道：
“醫生，可惜你對數理邏輯的瞭解太少了，否則你應該是個很好的交流者。”
說到這裏，老人陷入了沉默，表情變得有些晦暗。
“就像你已經死去的老朋友，愛因斯坦和馮諾依曼？”
“可惜，我只是一個普通的精神病醫生，而不是聞名於世的物理學家或者大數學家。”
“不過，雖然對數理邏輯的瞭解很少，但我個人對連續統問題卻很感興趣。”
“畢竟就算是小孩子都知道，物體的邉榆壽E與直觀的連續性是一體兩面的概念。”
“如果連續統問題沒有一個確切的答案，那世間萬物又是如何能從靜止走向邉拥模俊�
“你的老朋友愛因斯坦就是相對論的創立者，時空連續統正是廣義相對論的理論基礎。”
提起老朋友的相對論，老人臉上晦暗的表情頓時消失不見，露出了感興趣的笑容道：
“不錯，廣義相對論，我還用它建立了一個旋轉宇宙模型，那裏允許時間旅行發生。”
“醫生，下個星期的治療我會如約到來的。”
看到老人轉身離開了房間，遮擋着自己面容的精神病醫生才放下了手中那份寬大的報紙，露出了與一旁白髮女孩一模一樣的面容。
在報紙背後隱藏着一份紙質手稿，上面寫着如下的一段文字：
『患者：庫爾特·哥德爾，64歲。』
『患者堅信未能實現自己的人生目標，因此很“失敗”，並由此推斷出別人把他視作沒用的人。』
『害怕失業，擔心失去在研究院的職位，認爲自己在過去35年都沒有產出過像樣的成果。』
『獨自搞研究，無論是工作方式還是研究領域都與主流格格不入，爲沒能取得與年輕時比肩的成就而深感內疚。』
『不斷地妄想，覺得哥哥就是想害死他的幕後黑手——這樣哥哥就可以搶走他的妻子、房子，還有在研究院的職位。』
『患者對自己幻想的現實堅信不疑，誰試圖反駁他等於認爲他的認知有誤，會加劇患者對自己身爲學者的懷疑。』
『如果承認他的認知是客觀的，能夠準確地描述和表達自我，就會掉入他邏輯自洽的結論。不然，他就會覺得有人要騙他而出現情緒波動。』
“被害妄想症、堅定不移地相信陰终摚怀鏊希质且粋�精神病人。”
阿基里斯看着桌上的那份病歷記錄見怪不怪地低聲感嘆一句。
現在她都有一種感覺，這些追求真理的數學家就像是恐怖小說故事中的主角。
他們窺探了超出人類智慧邊界的詭異之物，所以纔會一個個都出現了精神問題。
“不，恰恰相反。”
“正因爲這些數學家出現了人類直觀可見的精神問題，躁鬱症、被害妄想症等等，才說明他們其實根本沒有窺探到那個超出人類智慧邊界的無限世界。”
李恆敲了敲桌子上的病歷記錄道：
“哥德爾稱自己是唯心的、神學的，他相信存在其他世界，其中包括人死後的世界。”
“哪怕再模糊，只要生命中的際遇和生命本身有任何微妙的意義，人類就不應該把肉身的消失看作一種結束，而應視其爲另一種存在的開始。”
在哥德爾的認知裏，人類的『心』和大腦是不一樣的，在表面的物理大腦之外，人類的心隱藏着超越物理的力量。
這裏的『心』就扮演着類似於靈魂、真靈、三魂七魄的功能，它將人類的思想鏈接到一個超越物理限制的純粹理念世界。
人類的物理大腦是有限的，但心卻是無限的，因此人類所能創造的有限的計算機器永遠也不可能超越人心。
“但這一點我不認可，以我現在的力量，並沒有發現任何超越物理大腦限制的人心。”
“人心就是大腦，人的意識就是物質構成的血肉細胞的複雜物理計算，除此之外別無他物。”
李恆捏了捏自己的手掌，在這一點上，他的想法是站在圖靈那一邊的。
人類是物理世界的一部分，人的認知不會超過物理世界的計算極限。
這些精神病症也根本不是因爲人類那不可見的無限心靈窺探到了無限的世界，單純只是源於大腦的器質性病變而已。
隨手將哥德爾的病例記錄用報紙蓋上，李恆從臨時精神科醫生的身份上回歸：
“說回集合論的問題。”
“康托爾在建立集合論的工作中就已經發現了康托爾悖論，或者將其稱爲最大基數悖論。”
“任一集合的基數小於其冪集的基數，根據概括規則，可由一切集合組成集合S。”
“S的基數小於其冪集P（S）的基數。但是，P（S）又是一切集合構成的集合S的一個子集，即P（S）的基數小於或等於S的基數，由此產生邏輯矛盾。”
“第二個悖論，最大序數悖論，同樣因爲所有序數的集合而產生了類似的邏輯矛盾。”
“最後一個，羅愫悖論。”
“這個悖論比上面兩個悖論更簡單，但因此威力更強大，動搖了集合論的基礎。”
把所有集合分爲兩類，一類是正常集合，例如所有自然數組成的集合。
這類集合的特點是，集合本身不能作爲自己的一個元素。
非正常集合，例如，所有集合所組成的集合。
這類集合的特點是，集合本身可以作爲自己的一個元素。
現假設由所有正常集合組成一個集合S。
如果S屬於自身，則S是非正常集合，它不是由所有正常集合組成的集合，與假設矛盾。
如果S不屬於自身，則它是正常集合，所以它是由所有正常集合組成的集合S的一個元素，矛盾。
寫成符號形式就是：
S∈S→S不屬於S，S不屬於S→S∈S。
以上三個集合論中的悖論本質上都源於自我指涉問題。
因爲假定以自身爲元素的集合存在，所以出現了不滿足排中律的自我矛盾的命題。
ZF公理系統解決這個矛盾的辦法是使用正則性公理。
它禁止將一個集合作爲其自身的元素，禁止了諸如“所有集合的集合”和“所有序數的集合”這樣的陳述。
另一個NBG公理系統，這裏的G就是哥德爾。
它將“所有集合的集合”稱爲“真類”，將類與集合分離，從而避免出現自指悖論。
“接下來是不是就是那個很著名的哥德爾不完備定理了？”
阿基里斯靠在壁爐旁低聲問道。
房間裏的溫度已經被火焰加熱到近似於炎炎夏日的溫度，很難想象那個64歲的乾瘦老人是如何在這樣的環境中裹着厚厚的毛衣還會感到冷。
“比起廣爲流傳的哥德爾不完備定理，先要提起的是哥德爾完備性定理。”
“從這個定理上，能看出自我指涉問題是如何與實無窮扯上聯繫的。”
“哥德爾完全性定理研究的內容是一階謂詞邏輯，或者說是有限函數演算。”
“它表明命題邏輯和一階邏輯具有可靠性和完備性。”
“其中可靠性指可以被證明的一定爲真，完備性指一切爲真的命題都可以被證明。”
“簡單來說就是，至少在有限的範圍內，用公理和證明機制足以推導出所有普遍成立的命題。”
“但是一階謂詞邏輯是很弱的，它無法處理無限的概念。”
“最基本的一階算術系統，用來描述自然數的皮亞諾公理就超出了這條定理的範圍。”
“在涉及到實無窮的時候，不完備性出現了。”
哥德爾不完備定理有兩條內容。