作者：橘子汽水西瓜味
在這個變化過程中，不會有哪個多邊形的面積真的等於圓的面積。
但是，對於任意給定的容差，總是能夠找到一個內接正多邊形，它的面積比給定的容差更接近圓的面積。
這種極限思想與最初歐多克索斯使用的窮竭法很相似。
無窮小量是以0爲極限的變量，摒棄不可捉摸的實無窮，將無窮小量限定在非0的潛無窮範圍內。
無窮小量不會真正抵達0，微積分處理的都是位於0和∞之間的有限量。
一個量減去它自身的一半或一半多，剩餘的量再減去剩餘的量的一半或一半多。
一直這樣減下去，最終就得到一個小於任何事先給定量的量。
當使用“任意小”、“任意大”這類詞進行表述時，就代表着不可抵達的潛無窮的觀點。
“不過，柯西對於極限的定義依舊有不太完美的地方，尤其是趨近這個具有動態含義的詞，暗示了時間和空間的概念。”
“在他之後，魏爾斯特拉斯重新給出極限的定義，也就是教科書上的ε—δ語言，不再使用趨近這種暗示了空間和時間的動態定義。”
“利用這個對極限的定義，可以很容易地證明芝諾二分悖論中那個無窮級數的和是1。”
“對了，還有很有名的魏爾斯特拉斯函數，處處連續但處處不可導。”
“這是第一個分形函數，具備自相似性，無限細分放大後依舊還是那佈滿了鋸齒的模樣。”
“總之，經過不少聰明人的努力，微積分總算有了一個嚴格的基礎，擺脫了邏輯上的含糊和矛盾，走出了第二次數學危機。”
大略地提了提微積分的發展史，李恆將話題轉到了重點上。
“微積分的完善建立在極限思想的基礎上，明確了微積分在計算過程中使用的都是不爲0的變量。”
“這讓整個微積分的計算擺脫了麻煩的無窮大和無窮小，迴歸到了人類能處理的有限範圍內。”
“實數域因此也是最大的阿基米德有序域，給出任何數，總能夠挑選出一個整數大於該數，也就是不包括無窮大量和無窮小量。”
“實數的定義域（-∞，+∞），這個表示無窮的符號也就再次迴歸到了亞里士多德的潛無窮的概念，人類的智慧似乎再一次在無窮面前敗退了。”
“但，潛無窮和實無窮的概念本就是相互交織的。”
“完善了理論基礎的微積分擺脫了麻煩的實無窮，但總有人對真實的無窮的性質感到好奇。”
“畢竟微積分的基礎就是連續性，而無理數就是數軸連續性的來源，沒有實無窮，只剩下有理數的微積分也不可能存在。”
“微積分基礎的嚴格化解決了很多問題，但也帶來了很多新的問題。”
“最關鍵的就是，需要一個無理數的基本定義，這些無理數構成的數軸具備連續性。”
萬物皆數，在直觀的幾何上從離散到連續的轉變，就是從有理數到實數的轉變。
魏爾斯特拉斯，戴德金，還有康托爾，這三人各自完成了對實數的基本定義。
其中容易理解的是戴德金的定義。
李恆面前再一次漂浮起那條用白色粉筆畫成的數軸，只不過這一次上面的數字變成了各種奇奇怪怪的符號。
“點動成線，數軸上的無窮個點密密麻麻地填滿了所有的空隙，沒有絲毫的漏洞。”
“這是連續性最直觀的一點，但從這種稠密性的視角去理解數軸的連續性已經宣告破產。”
“任意兩個有理數之間都存在第三個有理數，但它們並不連續，每一個有理數還被密密麻麻的無理數所包圍。”
“連續性顯然不是根源於任何種類的緻密性，用這種想法去思考數軸連續性的根源是一無所獲的。”
“思考數軸連續性最好的方法是從數軸的有序性和相繼性入手。”
“也就是在數軸上，每一個點的左邊是一個更小的點，右邊是一個更大的點。”
李恆抬起手掌，一記樸實無華的手刀砍在面前的白色數軸上，激盪起一陣金屬碰撞般的火花，讓整個世界都劇烈地顫動了起來。
天上那閃耀着無盡光無盡熱的大火球也在這一刻微微暗淡了下去，爭吵了不知多久的兩個數學家將目光投向了此處。
他們感覺到，這個隱藏在有理數的縫隙中，無限可分的無窮小世界，真的被找到了那個不可分割的最小基本元素。
“從數軸的可分性去理解連續性，這就是我們兩個一路上在做的事情。”
“切割整數，切割有理數，切到不可再分的那一點，找到能精確地將數軸分割成左右兩部分的那個點所代表的數。”
“在這個數左邊的所有數都小於這個數，在這個數右邊的所有數都大於這個數。”
這就是戴德金分割。
如果直線上的所有點都落入兩個集合，第一個集合中的所有點都位於第二個集合的所有點的左邊。
那麼就存在唯一的一個點把所有的點劃分成兩類，從而把直線分割成兩部分。
於是，通過定義集合A和B的成員和邊界，就可以準確定義這點的值，數軸上真正不可再分的基本元素。
用數軸上位於左側和右側的兩個互斥集合來定義一個點的數值，這就是戴德金分割的思想。
在之前的旅程裏，一旦離開了處處均勻的整數世界，兩人就淪陷在了有理數和無理數的稠密性中。
他們不得不面對那些包含着無窮個元素、但卻看起來同樣都是無窮小的區間。
歸根結底，這些看起來無窮小的有理數縫隙，依舊還不是一個沒有大小的點。
雖然它看起來在數軸上佔據的長度是零，但這裏卻藏着無數個無理數，構成了這片有牛頓、萊布尼茨、貝克萊主教的複雜世界。
“因爲無理數的定義還不清晰，我們只知道無理數的某些實例，而不知道所有無理數的狀況。”
“因此我們這裏能用來作爲分割標準的只有定義清晰的有理數。”
“一刀將數軸分割成兩個部分，將會得到幾個不同的結果。”
“第一，左邊的A集合有最大元素，右邊的B集合沒有最小元素。”
“這就說明這一刀砍在了數軸上的某一個有理數p/q所代表的點上，並且這個點位於左集A之中。”
“如此數軸就被分成了兩部分，比如（-∞，2】，（2，+∞）。”
“數軸上的每一個點都是唯一的，一個點在左集A中，就不可能在右集B中。”
“所以第二種情況，左集A沒有最大元素，右集B有最小元素。”
“這兩種情況都沒有發現數軸的縫隙，因此這些分割就對應所有的有理數。”
“除此之外的第三種情況，左集A沒有最大元素，右集B也沒有最小元素。”
“這就是有理數之間的縫隙，想要填補這個縫隙就需要無理數，也就是我們現在所在的這個世界。”
“用有理數進行分割，如果分割不產生空隙，那麼它就是一個有理數；如果產生空隙，那麼它就是一個無理數。”
“由此就從有理數擴展到了實數。”
說到這裏，李恆又抬手在阿基里斯的肩膀上貼上了第四個小便籤“戴德金分割”。
前三張便籤紙上分別寫着“一一對應、基數”，“有序排列、序數”、“排中律”的字樣。
“再次回到之前解釋過的0.9……=1的問題，用戴德金分割就能證明這一結論。”
“0.9……是一個十進制無窮小數，它和1是數軸上同一個點代表的數的不同寫法。”
“所有的無限小數已經填滿了整條實數軸，再也沒有其他數字的位置。”
“與戴德金分割對實數的定義等價，康托爾用無窮序列來定義數軸上的數。”
“一個有理數的無窮序列，如果任意兩個相鄰項的差越趨於0，那麼這個有理數序列就是一個實數。”
“康托爾將這稱爲一個基本序列。”
“任何有理數序列的收斂等同於它可表示爲一個無窮的十進制小數。”
“這種定義下的系統是封閉的，也就是說，用有理數定義的實數去組成實數序列，得到的極限仍是實數。”
“1.00……和0.99……，這兩個不同的基本序列極限是一樣的，定義了數軸上的同一個實數。”
“也正是因此，類似於ω這樣不是0也不是後繼序數的超窮序數被稱爲極限序數。”
“它們本就來自於表示無理數的基本序列，源於微積分中的極限，沒有最後一位的概念。”
“嗯，前置基礎總算是說的差不多了。”
李恆抬手打了個響指，兩人來到了一間幽暗老舊的精神病院外面。
“有了無縫的實數軸和實數的基本定義，接下來就可以開始研究連續統了。”
第717章 可數無窮，不可數無窮
一間老舊的精神病院，隱藏在陰暗無光的山林之間，即使是天上熊熊燃燒的大火球綻放的無盡光和熱都無法照亮這片陰暗的區域。
安靜詭異的氛圍，讓這裏就像是某個恐怖電影的拍攝現場。
兩個外貌看起來跟強大無關的人就像是誤入危險場所的貪玩小孩，屬於在恐怖片開頭就被獻祭的那種。
“不過，換一個思路，在恐怖片裏全身長滿肌肉的強壯成年一般都是用來展示鬼怪不可抵抗的強大力量的墊子。”
“與此相反，反倒是孱弱的老人、天真可愛的小孩、被人欺凌的柔弱女子，這些常識中的弱者反而會具有抵制鬼怪的奇特能力。”
李恆仰頭看向天空中熊熊燃燒的太陽，就算是牛頓和萊布尼茨的光芒，也在這間精神病院門前止步不前。
大門緩緩向着兩側打開，露出了門後隱藏的場景：
開闊的庭院，院子裏種着一棵掛滿了大紅棗子的棗樹，一個清澈的游泳池裏放着一個漏氣的黃色游泳圈，看起來有些像是之前阿基米德的澡盆。
很普通的場景，與在外面感受到的陰森恐怖氛圍完全相反，只是一座很普通的建築。
“雖然數學家、哲學家往往會被人和孤僻天才、精神異常的瘋子人設聯繫在一起。但康托爾建立集合論和超窮數理論的大部分工作都是在他精神正常的時候完成的。”
“我們探究的當然不是人生晚期住進精神病院裏的康托爾，而是他發現超窮數的思想。”
李恆帶着阿基里斯走進了這間空無一人的精神病院，目光投向那棵長滿了紅色棗子的棗樹。
長滿觸手的頭足類生物，全身血肉模糊、滿是眼睛和嘴巴的可怕生物，有着超凡靈異力量、能隱形穿牆瞬移的鬼怪幽靈。
說到底，這些令人恐懼的要素都是以地球人的視角而產生的。
無垠的宇宙中將這些恐懼要素視爲美麗、高貴、可愛形象的智慧文明到處都是，莎布尼古拉斯的形象在很多文明中都是“高貴迷人的女王”。
比起這種外貌上的怪異形象，他更喜歡克系小說中對尤格索托斯的描繪。
令人恐懼的不是怪異醜陋的外表，而是超越人類智慧邊界的知識。
用理性和邏輯去探尋的事物，最終卻發現以凡人有限的理性永遠無法理解它們。
所有人類——這個詞指的是廣義上的人類。
不僅是狹義上的地球智人，還包括遠古的尼安德特人、能人，以及千百萬年以後不知是否存在的未來人類。
宇宙中其他星球上的碳基智慧生命、硅基智慧生命。
還有那些生存在空間不均勻的非整數世界中的修仙文明、魔法文明、武道文明之類亂七八糟的文明。
不論是銀河系裏的地球人，還是在這個無窮小的無理數世界裏的牛頓與萊布尼茨兩大天尊。
所有人類眼中都同樣不可理解、不可言及的神祕未知之物。
“自然數，整數，有理數，無理數，實數。”
“從蘇美爾文明的楔形文字開始，一直到幾千年後完整的實數定義，無縫連續的直線終於在代數上有了與之對應之物。”
“理所當然的，離散和連續之間的差異，就會讓人聯想到無窮之間也有差異。”
“自然數、整數、有理數，它們的數量都是無限，但它們都是離散的，充滿了漏洞和空隙。”
“實數卻是連續的，那麼兩者之間的本質差別是否就是因爲實數比其他數的數量更多？”
“也就是說，存在一個比人類常識中的無窮更大的無窮。”
李恆伸手從棗樹上取下一顆大紅棗，塞到了阿基里斯的嘴邊。
“啊嗚。”
一口將這顆大紅棗吞下，阿基里斯品味着那甜滋滋的味道，感受到有絲絲縷縷的信息從棗子裏湧了出來。
她現在終於有些理解李恆所謂的喫東西是什麼意思了。
“知識就是食物，原來是這樣的感覺。”
紅棗裏面裝着的信息是伽利略對於無窮的理解，使用的方法正是人類對數的認知的源頭，最基本的一一對應思想。
利用一一對應的方法，即使沒有辦法確切的數完集合中的每一個元素，也能比較不同集合元素的數量。
這一點就像是在舞會上一一配對跳舞的男性和女性，每個人都已經找到了自己的舞伴。
雖然參加舞會的人數可能有一百億甚至是無窮多，但只要知道每個人都已經有了自己對應的舞伴，沒有孤零零留在一邊的落單者，那就說明參加舞會的男女數量是一樣多的。
伽利略用一一對應的方法操作的是自然數和完全平方數：