作者：橘子汽水西瓜味
1→1，2→4，3→9，4→16，……n→n^2……
在直觀上看來，全體完全平方數顯然是自然數的一個真子集。
但通過在自然數和完全平方數之間建立一一對應，伽利略發現自然數和完全平方數的數量是一樣多的。
這種矛盾之處完全違背了歐幾里得的公理“整體總是大於部分”，也是有限的人類認爲他們無法處理無限的重要理由之一。
既然存在明顯的矛盾之處，那麼實無窮顯然是不存在的。
根本沒有一個已經完成的“全體自然數”集合，只有無限延伸、永遠數不到盡頭的自然數。
“問題在於，無窮的這種性質是否真的有矛盾之處？”
“如果說過去人類還可以用潛無窮的思想把∞拋在一邊，但隨着微積分和實數理論的建立，一個描述實無限的理論已經迫在眉睫。”
“每一個無理數都是一個已完成的無窮序列，如果沒有實無窮，那就沒有無理數，微積分的理論基礎也就完全消失了。”
李恆再次伸手從棗樹上摘下一顆棗子，這一次他直接塞到自己的嘴裏喫了下去。
“康托爾不認爲這種性質是有矛盾的，雖然它違反了人類一直以來的直覺，但卻並不違背邏輯。”
“所謂的矛盾，只不過是人類將處理有限數的方法推廣到了無限之上，這就像用牛頓的邉佣扇ヌ幚斫咏馑俚母咚傥矬w一樣。”
“在他看來，對於數學來說，只要一個理論是一致且相容的，沒有自相矛盾之處，那它就是可以被接受的，除此之外沒有其他多餘的標準。”
“因此，康托爾將部分與整體一樣大、集合的真子集與自身一樣大作爲無窮集合的基本性質。”
“有了一一對應的方法，那麼很容易就能得到以下結論：奇數、偶數、素數、整數，這些數構成的集合都能與全體自然數形成一一對應。”
“它們的數量都是一樣的，有着同樣的基數。”
“整數和自然數的基本特徵就是可以一個接着一個地列出來，知道了前一個數就能寫出後一個數，康托爾將這種性質稱爲【可數性】。”
“於是，具有和全體自然數集合相同基數的無窮大就被稱爲【可數無窮】。”
“這就是第一個超窮基數N0”
“其他無窮集合的基數可以通過這個基準的基數來計算，也就是把它們與N0比較，看看它們是否能和自然數建立一一對應。”
對無窮集合，絕不可能真正完成配對的過程。
只要能建立一個一一對應的操作程序，使得對第1個，n個，和（n+1）個成立，就可以通過數學歸納法證明，這種對應對兩個集合從頭到尾都成立。
有了作爲基準的可數無窮，接下來的難題就是對於有理數的處理。
有理數看起來處處稠密，在直覺上根本無法像是自然數和整數一樣一一列舉出來。
但無理數的存在表明有理數並不連續，依舊是離散的。
既然如此，那麼有理數或許也能用某種方式像是自然數一樣一一列出，基數同樣是可數無窮。
“想要證明這一點，需要用一種方法將有理數排列成類似自然數的形式，這種方法被稱爲集合的可數化。”
“每一個有理數可以表示爲p/q的形式，簡單起見，只選擇正有理數，對於無窮集合這種處理不會影響結果。”
康特爾首先將這些有理數排列成一個二維矩陣的形式。
第一行是所有p/1形式的有理數，也就是所有的整數。
第二行是所有p/2形式的有理數，第三行是所有p/3形式的有理數，以此類推。
然後在這張二維矩陣上畫了一條Z字形的線，將矩陣上列出的所有有理數排列成一行。
1，2，1/2，1/3，2/2，3，4，3/2，2/3，1/4，1/5，2/4，3/3，4/2，5，6……
將這個有理數序列中所有重複的非最簡形式分數去掉，得到一個有理數序列：
1，2，1/2，1/3，3，4，3/2，2/3，1/4，1/5，……
所有的有理數完成了可數化，能夠與自然數集合完成一一對應。
因此，看似無窮稠密的有理數的數量與自然數相等，依舊是N0。
阿基里斯咀嚼着口中的紅棗，她汲取着其中的信息，接着有些驚訝地問道：
“就算加入了比有理數多得多的無理數，額，這裏把它們叫做無理代數數，依舊還是可數無窮？”
她在這顆紅棗裏看到了一個名爲劉維爾的數學家做的有關於代數數和超越數的證明。
一個實數如果是某個具有整係數的多項式方程的解，就把它稱爲代數數。
根號2是代數數，因爲它是整係數二次方程x^2-2=0的一個解。
有理數就是一次整係數方程的解，代數數代表着有理數的擴充。
劉維爾不等式是一個有關於無理代數數和有理數的不等式。
通俗來說，這個不等式表明有理數作爲無理代數數的鄰居，其數量少得可憐。
“沒錯，無理數之間也是不一樣的。”
“如根號2、根號3等實代數數同樣可以像有理數一樣進行可數化，因此雖然它們比有理數多得多，但數量還是與自然數一樣多。”
李恆從口袋裏掏出那條白色的數軸，用手指敲了敲上面那些意義不明的奇怪符號。
“所以，真正讓實數軸具有連續性的不是無理代數數，而是那些更奇怪的超越數。”
“說回實數集的基數，康托爾用來證明實數集不可數的方法是反證法。”
首先假設實數集是可數的，可以用類似於上面使用過的可數化方法，將所有的實數都列舉出來。
①X1.a1a2a3……
②X2.b1b2b3……
③X3.c1c2c3……
通過一一列舉的方法，列舉出一個有着無窮個無限小數的數表。
想要證明這張數表無法列舉出所有實數，就要構造出一個反例，表明它不可能出現在這張表裏。
這種方法被稱爲對角線證明。
令一個實數R的小數部分爲（a1-1），（b2-1），（c3-1）……當0-1時令其爲9。
這個實數R小數點後的第1位與列表中的第一個實數的第一位不同，小數點後的第2位與列表中的第二個實數的第二位不同。
以此類推，實數R小數點後的第n位與列表中第n個實數的第n位不同。
這就是這個證明被稱爲對角線法的原因，新的實數R所取的小數來自列表中全體實數的一條對角線上。
最終，這個新的實數與列表中的每一個實數都不同，一張無限長的列表也無法寫出全部的實數。
由此得出與假設不同的矛盾，從而證明實數是不能可數化的。
實數集與自然數集無法一一對應，它是一個比可數無窮更大的無窮。
如此便有了三個基本的層次：
有限，可數無限，不可數無限。
康托爾將連續統的基數稱爲c。
在這之後他做了一些更深入的證明，即線段=直線，直線=平面。
實數軸【0，1】區域點的數量與整條實數軸一樣多，線、面、體都是等價的點集，基數都是連續統的基數c。
它們都是一樣的無限大，維度差異根本無關緊要。
這意味着能夠用一個座標來唯一確定一個n維連續空間的點，而不需要隨着維度增加而添加更多的空間座標。
“這個問題有些超綱了，我們當前探究的只是實數軸和連續統，關於線=面=體的反直覺問題暫且略過。”
李恆的臉頰鼓起來一小塊，這讓他看起來有些像是在喫花生的倉鼠。
嘎嘣嘎嘣的清脆聲響在這間無人的庭院中響起，阿基里斯抬頭看去，那棵大紅棗樹上面的紅棗已經只剩下寥寥幾個，看起來有種荒涼感。
那些紅棗小部分到了她的肚子裏，大部分都被李恆吞下了肚。
還好康托爾不在這裏，不然大概要跟他們這兩個不告而取的傢伙打上一架。
以己度人，要是他自己種的紅棗被陌生人跑進來喫了個精光，那她肯定要氣的半死。
“不，他一直在邊上看着咱們。”
李恆抬手指向棗樹的根部。
“這是個脾氣很好的老頭，跟掛在天上的那個大太陽不太一樣。”
阿基里斯聞言看向棗樹，她握住胸前的螺旋狀鑰匙，用那個看不到具體尖端的小點對準了那裏，終於看到了躺在棗樹底下的第三人。
一個臉上佈滿皺紋，頭髮散亂的白髮老頭子，眼中有着呆滯和茫然，仰着頭躺在那裏不知道在想些什麼。
“他對我們討論的東西並不感興趣，也不在意我們喫掉他種的紅棗，只喜歡一個人待着思考自己的問題。”
“雖然是個精神病老頭，但沒有什麼攻擊性，不像上個世界的畢達哥拉斯那樣危險。”
李恆從那棵變得光禿禿的棗樹上摘下最後幾個紅棗，塞到了身旁白髮女孩的手掌心裏。
“最後幾個了，這可是康托爾親手種下的好東西，比人蔘果還厲害的寶貝，聞一聞味道就能獲得一念生滅多元宇宙的力量。”
雖然同樣都是可數無窮，但無理代數數和自然數集合、有理數集合當然有很大區別。
用基數衡量力量層次是一種很粗糙的方法，在無限領域，即使是相同的基數，具備的力量也是天差地別。
這涉及到更復雜的超窮序數和超圖靈機的力量層次，從可數無窮到不可數無窮之間還有着極度複雜的結構。
用有限世界的情況進行不太準確的類比，一個一千克的血肉大腦和一團一千克的棉花是不一樣的，一百億人組成的智慧文明和一塊十億噸重的石頭也是不一樣的。
“噢……這麼厲害啊。”
阿基里斯仔細看了兩眼，抬手就把這幾顆珍貴的紅棗塞進了嘴中，隨意地嚼了兩下就吞了下去。
味道確實比最初在地球上喫的烤牛排要好不少。
第718章 希爾伯特第一問
“離散和連續，可數無窮和不可數無窮，康托爾的研究在無窮領域中點亮了一絲曙光。”
“從古希臘時代以來一直存在於混沌之中，被人類認爲是模糊且不可理解的實無窮因此有了具體的模樣。”
“在數學領域中，康托爾的集合論與超窮數理論說是開天闢地也不爲過。”
“其中最關鍵的一點就是，康托爾發現了無窮也是有不同的等級的。”
“既然有了第一個不同於可數無窮的無窮大，那麼後面還有沒有第二個、第三個甚至是無限多個？”
“康托爾對於直線、平面、立體的研究就是這個思想下的產物。”
李恆靠在那棵光禿禿的棗樹下，將手中的一片樹葉摺疊成立體的形狀。
“更多的維度需要更多的座標進行確定，二維空間中的點應該多於一維直線上的點，因而空間上的點組成的集合應是比不可數集更大的等級。”
“這一點在微積分的計算中表現得很明顯，一條無限長的直線與數軸圍成的面積可以是一個有限值。”
“將一塊麪積有限的圓餅分割展開，能夠形成一條無限長度的鏈條。”
“在高維空間中是有限大小的物體，在低維空間中卻是無限大的，這似乎就是在說明，高維空間是更大的無窮大。”
“可惜，就像之前說過的那樣，康托爾反而證明了維度的數量對於連續空間中的點集大小毫無影響。”
“在無窮大的世界裏，人類直觀的幾何概念顯然是毫無作用的。”
“爲了尋找更大的基數，康托爾以集合論爲基礎重新出發，從每一個集合與自身子集之間的關係入手。”
一個集合{1，2，3}包含三個元素。
這個集合的非空子集爲{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共有7個。
最後再加上空集空集，總共有2^3個子集。
類似的，可以證明對包含n個元素的集合，其子集的數量是2^n個。
這一點對於空集也是成立的。
空集中的元素爲0，但空集也是自身的子集，因此空集的所有子集數量爲1，也就是非空集合{空集}。
這種方法正是後來以集合論爲基礎生成自然數的方法。
空集，{空集}，{空集，{空集}}……這組序列就代表了自然數0，1，2……
利用空集作爲一切的基礎，生成整個自然數序列。
“事實上，2這個數字在這裏有更豐富的意義。”
“爲什麼是2，而不是3或者10？”