作者：橘子汽水西瓜味
普通的街道，普通的行人，雖然有着不同於現代地球的風貌，但無論是人與物都與她以前所在的地球沒什麼區別。
“雖然看起來沒什麼區別，但這裏的確與我們之前所在的世界不一樣。”
“畢達哥拉斯統治的那個有理數世界位於0～1兩個整數之間，我們現在所在的世界是位於兩個有理數之間的無窮小區域。”
“這裏是純粹的無理數的世界，你眼前所能看到的這個世界裏的任何一個物體，它們都容納着無窮的信息，即使是自身無窮小的組成部分也一樣。”
阿基里斯聽着他話語中反覆使用的“無窮小”，直覺感受到這裏面有某些不太清晰的矛盾之處。
她低頭看着自己手掌上像是理想的圓一樣光滑、看不到最小尺度的皮膚，問出了心中的疑惑：
“有理數和整數不一樣，它們在數軸上的分佈是如此的稠密，以至於根本無法找到彼此緊挨着的下一個有理數。”
“如果說因爲有了那個超圖靈機的力量，所以能完成凡人不可能完成的任務，通過無限次切割，找到密密麻麻的有理數之間的空隙。”
“但爲什麼我們本應該已經走到了無限可分盡頭的無理數世界，可這個世界看起來卻依舊還可以繼續無限分割下去？”
阿基里斯說到此處伸出手掌，一縷空氣被她抓在掌心之中。
她微微用力，這團氣體就像是普通的氣體一樣被捏碎，從她的指縫之間溜走。
明明已經是位於兩個有理數之間無窮小的世界，卻依舊還藏着無限個無窮小的基本組成部分。
並且，這每一個無窮小的基本組成部分都是一個容納着實無窮序列的無理數。
如果還有着比無窮小更小的無窮小，那之前所謂的無窮小又算是什麼？
“沒錯，在原始的窮竭法和早期的微積分之中，有着許多模糊不清的地方。”
“雖然它們在計算光滑圖形的面積上很有效，但它們的理論基礎卻並不堅固，如同一座空中樓閣。”
李恆抬手從眼前劃過，看着手掌的軌跡道：
“點動成線，在歐幾里得的定義中，他將點稱作是沒有部分的東西。”
“一個沒有大小的東西，這個東西的長度自然就是0。”
“但點動成線，無窮個點的組合卻變成了有着某個具體且有限的長度的線。”
“古希臘人最討厭的0和∞又在這裏出現了，這種定義就和0×∞得出某個有限大小的數是一樣的。”
“在早期的微積分中，就充斥着這種麻煩的問題，本質上是微積分沒有能力處理無窮，無論是無窮大還是無窮小。”
“嗯，咱們邊走邊說。”
李恆拉着阿基里斯的手邁步向着街道對面走去。
這個白髮女孩下意識地低頭看向兩人交疊在一起的手掌，回憶起最初地球上的那條街道。
還是一樣的觸感，但隨着她一點一點理解了“邉印薄ⅰ坝|碰”的難度，她對於人與人之間的接觸也有了與之前完全不一樣的理解。
“我見到的只是我眼中的他，我觸碰到的手掌也只是我腦海中認知的感受。”
“人在這個世界上所能感受到的其他人與物，其實都只是自己腦海中的信息。”
“這大概就是所謂的心外無物，人終其一生所能感受到的僅有自己。”
從這恍惚間的思考中回過神來，阿基里斯收回視線，抬頭看向面前出現的東西。
那是一幅二維平面直角座標系，此刻漂浮在兩人的面前，一條彎彎曲曲的曲線從原點出發，隨着兩人的步伐慢慢地向前移動。
“這是笛卡爾發明的座標系，是解析幾何的基礎。它可以用來表示變量之間的關係，直觀的看到函數的圖像，將抽象的代數與直觀的幾何聯繫在一起。”
“這張座標系上，橫軸是時間t，縱軸是距離S。”
“從牛頓和萊布尼茨的微積分，到正式嚴謹的現代微積分，中間有很多複雜的東西可討論。”
“不過這裏不是高數課的課堂，所以用不着去學着計算那些麻煩的定積分、不定積分、常微分方程、偏微分方程。”
“現在要討論的只是微積分和第二次數學危機的有關問題，這個問題與你的名字緊密相關。”
“從某種意義上來說，芝諾的思想其實太過超前。”
“正是他關於靜止與邉印㈦x散與連續的悖論中所涉及到的東西——無窮小量，引起了第二次數學危機。”
芝諾悖論和無窮小量。
阿基里斯低頭看向自己胸前的粉白色螺旋狀鑰匙，望着那個在這無窮小的世界裏仍舊看不到具體大小的尖端，她明白了過來。
0.99……，這是一個無窮級數。
想要讓0.99……=1，就需要邁出最後的那一步，也就是加上一個大小爲9/∞的數值。
無法處理的惱人的無窮又在這裏出現了。
不僅僅是無窮小，還有那個讓阿基里斯真正追上烏龜的最後一步的問題。
以有限的凡人的思想，這個無窮序列根本就沒有所謂的最後一步。
就像是檯燈悖論，一個檯燈經過無限次開關後的狀態是什麼？
用數字表示，就是1-1+1-1……的無窮級數求和。
如果根據（1-1）+（1-1）……來計算，那麼這個級數的和等於0。
如果根據1+（-1+1）+（-1+1）……，那麼這個級數的和就等於1。
兩種計算在數學上都是正當的，這個級數的和似乎既爲1又不爲1，但這是不可能的。
這是一種被稱爲振盪級數的發散級數，沒有收斂的有限值。
∞是奇數還是偶數？
從這個震盪級數也能看出，無窮不是整數，沒有奇偶性，也沒有什麼最後一步可言。
同樣的，每一個無理數也根本沒有什麼最後一位的說法。
阿基里斯抬頭看向面前漂浮着的平面座標系上那條彎彎曲曲向上延伸的白色曲線道：
“所以，第一次數學危機是有關於無法數盡的無理數的無窮大的問題，第二次數學危機其實是有關於無窮小的問題？”
難怪說無窮大和無窮小是同樣的麻煩，與無窮有關的東西就沒有簡單的。
李恒指着面前的平面直角座標系道：
“函數中最簡單的是線性關係，行走時勻速前進v=s/t，每一個時刻的速度都等於平均速度。”
“但實際上很難遇到這種理想的狀況，從靜止到邉佑屑铀佟倪動到靜止有減速。”
“世界上到處都是非線性的事物，想要描述這種不均勻的非線性狀態，就必須用到微積分。”
“速度等於距離除以時間，利用微分的無窮切割思想，要做的就是將這條曲線截取無窮小的一部分。”
“在這無窮小的一部分上，曲線變成了直線，因此就可以用之前計算線性邉拥姆绞絹碛嬎闼矔r速度。”
“v=ds/dt，曲線上每一點的瞬時速度就是這一點的切線的斜率。”
李恆將面前的平面直角座標系放大，把路程中的其中一小段曲線挑選了出來。
“這段曲線的函數表達式是s=t^3”
“假設我們現在用無窮小的時間dt走出了一個無窮小的距離ds。”
“從而得到等式，S+ds=t^3+3t^2dt+3t（dt）^2+（dt）^3”
“然後，按照微積分的計算方式，因爲等式右側包含（dt）^2和（dt）^3的項是比無窮小更小的高階無窮小，所以可以直接捨去，只保留等式中最低階的無窮小dt和ds。”
“於是s+ds=t^3+3t^2dt，得出ds/dt=3t^2，這就是這條曲線的切線斜率。”
“這是微積分中很基本的導數計算，得出的結論也完美符合實際結果，無疑是正確的。”
“但是，發現裏面的問題了嗎？”
阿基里斯看看那個比無窮小更小的高階無窮小，再看看那個ds/dt的式子，明白了那個模糊不清的問題在哪裏了。
“0不能作爲除數，所以dt不是等於0，同樣的，（dt）^2也不是0。”
“不是0，卻可以在等式的右側當做0直接略去，並且依舊得出完全相等的結果。”
李恆點點頭道：
“這就是牛頓和萊布尼茨的微積分中藏着的問題，無窮小量是一個極爲奇怪的東西。”
“它可以作爲除數，所以不是真的等於0，但它又必須像是0一樣滿足x+dx=x這樣的方程。”
“我說的對吧，貝克萊主教？”
阿基里斯轉頭看向出現在兩人身旁的這個男人。
他的頭上戴着大大的黑色兜帽，穿着教會傳統的黑色裝束，表情嚴肅且認真，手中捧着厚厚的一堆傳單，上面隱約可以看到“打倒牛頓霸權主義”、“推翻萊布尼茨暴政”的字樣。
這位教會的主教此刻看着面前的兩人，緩緩地點了點頭，語氣讚賞地道：
“說的不錯，牛頓的流數術是先取Δs/Δt，這裏的Δt當然不可以爲零，但緊接着又令Δt爲零來求得瞬時速度。那麼這個Δt到底是不是零？”
“這些逐漸消失的增量是什麼？它們既不是有限量，更不是空無，或許我們應該把它們稱爲消逝的幽靈更合適。”
“這些計算方法不過是隱晦的神祕物，它們是模糊和混亂的，是無理和荒謬的！”
第716章 無縫的實數軸
“願主保佑你渡過美好的一天。”
這位貝克萊主教從手中捧着的那堆宣傳單裏抽出兩張分別塞到兩個人的手中，接着抬頭看向天空中散發着無盡光和熱的太陽。
在普通的整數世界中，那是一個熊熊燃燒的大火球，是給予人類營養的太陽。
在這個無理數世界裏，天上光芒萬丈的太陽其實是那兩個佔據了微積分源頭的強者所投下的一絲倒影。
僅僅是這一絲倒影的力量就已經遠遠凌駕於真實界佛祖的屍體之上。
這個隱藏在無窮小空間裏的無理數世界已經與超脫物質宇宙的信息世界很類似了。
以有限生靈的視角，完全無法區分兩者的區別在哪裏。
單純從生靈的力量層次來看，這個無理數世界裏的一草一木都比掌控一座次元世界的所謂大人物要強得多。
只不過在生命本質上，兩者依舊沒什麼差別。
無法被認知和掌控的力量就算不上自己的力量。
一個普通人手中的遊戲世界對應着一個無邊無際的真實世界，他的日常玩樂就是這個世界裏猩奶斓浪廾�
但這樣掌握着上帝權限的人依舊還只是凡人罷了。
眼中能看到的世界只有那塊小小的電子屏幕，而不是整個廣闊無邊的真實世界。
這份力量來自於超出自身認知範圍的權限，他本身與被他掌控宿命的世間猩混锻粋�位置，並沒有什麼高不可攀的地方。
兩者的思維能力是等同的，掌控萬物命叩钠胀ㄈ艘琅f還是普通人，算個加減乘除都要思考上好幾秒，隨便記幾個電話號碼都會讓腦袋宕機。
智慧生物以自身勝過蠢笨動物的智慧而驕傲，毀滅與創生的偉力並不能讓凡人信服，畢竟“我上我也行”。
想要成爲神，必須擁有凡人永遠不可企及的智慧，有能力解決凡人永遠無法解決的難題，這纔算得上是神。
“同樣祝你好撸鹘獭！�
李恆抬手和這個表情嚴肅的中年男人揮手告別，望着那漸漸遠去的背影，隨手就把手中的傳單捏成一團扔進了一旁的垃圾桶裏。
他不信宗教，無論是傳統的上帝、三清、佛陀，還是最近比較流行的克蘇魯邪神。
他就是自己的主，自己保佑自己就行了。
阿基里斯見狀也不猶豫，學着他的樣子把那張傳單扔到了垃圾桶裏。
她也有免費請她喫飯的主了，不用信那個見都沒見過的上帝。
“雖然是出於維護宗教信仰的目的而抨擊微積分的基礎問題，但這位主教的話是說得沒錯的，否則也不至於引起第二次數學危機。”
“如果承認一個既是0又不是0的奇怪的無窮小量，那麼微積分的邏輯基礎的確只是空中樓閣，與神學信仰無異。”
爲了解決微積分的基礎問題，有許多數學家做出了努力，比如達朗貝爾提出了建立在“極限”概念基礎之上的微積分。
在處理導數時，他把dy/dx看成是有限項的商的極限，並且將這個商表示爲z/u。
那麼，dy/dx就是在假定z和u爲實數並且不斷減小時，比值越來越接近的量。
在這之後，柯西將極限的思想發揚光大。
當屬於一個變量的相繼的值無限地趨近某個固定值時，如果最終同固定值之差可以任意地小，那麼這個固定值就稱爲所有這些值的極限。
這是柯西有關於極限的定義。
再次回顧計算圓周率時使用的內接正多邊形。
當一個圓的內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積的極限就是這個圓的面積。