作者：橘子汽水西瓜味
阿基里斯看着手中的小冊子，打開之後看到的是“第四十六章”的字樣。
“『我的父母很明白，阿基里斯是能夠追上烏龜的，他們爲我取這個名字不是把我當做善跑的英雄，而是那隻悖論中的可笑烏龜』。”
她抬起頭問道：
“這本書寫的是我的故事？”
李恆點點頭回道：
“是，阿基里斯是這本書的主角。”
“不僅是二分悖論，阿基里斯與芝諾的龜的問題也可以用這種思想來解決。”
“0.999……=1，這裏的等號不是約等於，而是確切的等於。”
“不考慮阿基里斯到底是如何從靜止走向邉印⒂质侨绾巫咄隉o窮步的。”
“這個等號的意思是，在數學上的理想狀況下，經過了無限次步驟之後，阿基里斯確實追上了烏龜，兩者在數軸上完全重合，位於同一個點。”
“1/2+1/4……=1，0.9……=1，其實只是同一個數的不同寫法而已，是在數軸上從0出發抵達1的不同行走方法。”
“其他整數和分數也可以被寫成這種無窮級數的形式。”
“人類發現的無理數，實際上就是一個和爲有限值的無窮級數，也就是所謂的收斂級數。”
換句話說，每一個真實存在的無理數都是一個已完成的無窮序列。
一個對應着無理數的世界，在無窮小的空間和時間內，都能完成無限次步驟的計算任務，容納着無窮的信息與能量。
雖然這樣的世界依舊還不是連續統，但與普通人類所在的整數世界也完全是兩個概念。
生存在那裏的生物，即使因爲這個玻璃罐世界的規則而意識不到自身的強大。
但他們任何一個體內都容納着實在無窮的力量，即使是身體中無窮小的組成部分也一樣。
空間均勻分佈的整數世界那些無限大的靜止宇宙，無窮無盡的靜止宇宙組成的次元世界，還有上不見頂、深不見底的量子比特海洋。
它們全都只是無理數世界的生物身體上無窮小的基本組成部分，等同於數軸上那些沒有大小的點。
所以阿基里斯必須要擁有實無窮等級的力量才能去往旅程的下一站。
沒有達到這個等級的生物，根本無法出現在那個世界裏。
“嗯，最後再說一個特別的圓周率算法，以及我眼中萬物皆數的世界。”
李恆抬手將這本記錄着窮竭法與圓周率的書合上，目光穿透圖書館無窮世界的阻隔，看向畢達哥拉斯和阿基米德永遠無法的抵達無窮小世界。
和阿基米德以及這個世界裏的其他人一樣，他同樣無法直觀地看到真正的無窮小，目光只能停留在“任意小”的潛無窮世界。
“阿基里斯，無論是現在的我還是你，都看不到真實的無窮，目光只能侷限在有限的世界裏。”
“但我卻對實無窮的存在深信不疑，從未懷疑過它的真實性。”
“原因就在於這些數。”
“地球人很喜歡用虛擬和現實的概念來形容事物，現實這個詞原本指代客觀存在的事物或事實。”
“但就像無限和無窮這些詞被隨意使用以至於遠離了原來的含義，現實這個詞也變成了某種更具體和狹窄的東西。”
“人類說一樣東西是現實的，往往指這些東西有着能被觸摸的具體模樣、能被眼睛看到的外形，是生活中觸手可及的事物。”
“比如，親人、朋友、早上的麪包、今晚的晚餐，等等人類的感官所能直接感受到的具體事物。”
“三百億光年外的古老星辰，隱藏在微觀領域的量子波動性，這些都不屬於近距離的、直觀的現實的範圍。”
“現實這個詞因此具有了一種人類中心主義的含義。”
“只有人類所在的這顆星球表面不到百億人的世界是現實的，其他都是虛幻不實的事物。”
“這種想法其實與心外無物的思想有些類似，只在乎與自己直接相關的，不在乎那些與自己無關的遙遠事物。”
“但是，我不認爲人類的意識能影響到宇宙的客觀存在，太陽和月亮不會因爲區區百億人的目光不去看它而不存在。”
“無論人類有沒有去觀察，太陽和月亮就在那裏，宇宙中的億萬星辰就在那裏。”
“所以我認可量子力學的多世界詮釋，將人的意識打落塵埃，讓人類和沙礫待在同一個位置。”
“觀察者效應只是人類主觀感受到的錯覺，人只是宇宙無盡複製的時間洪流中靜止不動的紙片人，對這個世界沒有絲毫影響。”
紙片人，阿基里斯豎起了耳朵，捕捉到了這個詞語。
她伸手摸了摸自己跳動着的心臟，感受着那平穩的心率波動，明白自己心中對這個事實早就已經有了猜想。
既然飛矢不動準確描述了這個世界，那麼他們這些生存在離散世界中的生物自然就是靜止不動的紙片人了。
現在的她已經不再是過去的那個她。
過去的她在過去的世界，現在的她在現在的世界，就像數字中那些看起來完全一樣，但卻位於不同位置的數。
身在這個世界裏的是一個全新的阿基里斯，既不是那個地球上被人丟進貧民窟的垃圾，也不是那個與提亞馬特神大戰的人。
所以他纔會跟她說，她是這個世界上獨一無二的阿基里斯，與其他那些有着同樣名字、外貌和記憶的阿基里斯都不一樣。
李恆打了個響指，一串數字符號漂浮在兩人的面前。
“這種萬物皆數的信念當然不是毫無來由的宗教信仰。”
“就像證明無理數需要使用排中律和反證法一樣，認爲那些代表着實無窮的數字真實存在需要足夠的證據。”
“人類計算圓周率總是從頭開始，似乎隨着人的計算圓周率才一步一步的出現。”
“那些還沒有被發現的圓周率數字對於人類來說是完全隨機的，因此圓周率也可以被用於製作隨機數。”
“但是，圓周率真的隨機嗎？那些還沒被計算出來的數字真的不存在嗎？”
“這就是一種劃時代的圓周率算法，它能計算圓周率的任意第n位二進制或十六進制小數而不需要先計算前面的n-1位數字，被稱爲BBP公式。”
“有了計算圓周率任意位的算法，π到底是什麼就變得很清晰了。”
“計算圓周率就像人類觀察高山、大海、星辰一樣。這些物體並不會因爲人類沒有去觀察就不存在，圓周率的真實性也不會因爲人類是否存在而改變。”
“宇宙中那些遙遠的星辰，古代的一些聰明人是有能力用視差法計算出它們的距離的。”
“但是因爲這些星辰被算出來的距離過於遙遠，遠遠超出了人類能想象的距離，所以古代人只是把它們視作圍繞地球的小點。”
“圓周率π，它不是人類創造發明的概念，而是一種早已存在，比宇宙星辰更爲龐大的、永恆不朽的實體。”
數學是發現還是發明，李恆傾向於是發現，至少這些有着確定算法的無理數是如此。
這種想法被稱爲數學柏拉圖主義者，正如在古希臘時代，柏拉圖是最早認可實無窮的哲學家。
所以李恆從不懷疑宇宙中存在無限個地球、無限個人類文明。
實在無窮是真實存在的，人類發現的每一個無理數都是存在於世界某處的無窮實體。
人類知曉的一切過去、人類能想象到的一切未來，都已經在那些記錄着一切可能性的巴別圖書館中書寫完畢。
第715章 無窮小的幽靈
“窮竭法作爲微積分的雛形，被用來處理光滑的彎曲圖形，包括圓和拋物線等等。”
“但古希臘時代的阿基米德僅僅把這種無線切割和重組的思想用於處理靜止的物體。”
“一個圓被無限切割成沒有面積的直線，將這無窮條直線重組成矩形計算出面積。”
“一個球體被無限切割成沒有體積的薄片，將這無窮塊薄片重組成球體的體積。”
“將窮竭法與芝諾有關於靜止與邉拥你Ｕ撓嘟Y合，這種無限切割的思想才能顯現出其真正的力量。”
“回到我們最初思考的穿過一條街道的問題，也就是所謂點動成線、線動成面、面動成體的常識。”
“很顯然，這種對靜止物體無限切割和重組的過程與物體的連續邉舆^程是一樣的，物體隨着時間流逝而邉拥能壽E就如同增加了一個空間維度。”
“微積分與原始的窮竭法最大的不同之處就在於，這種新的工具被用於描述世間萬物的邉舆^程。”
“這就是我們接下來要去的世界，現代物理學的開端，萬物從靜止走向邉拥臅r代，也是第二次數學危機的時代。”
李恆將書架上這本記錄着窮竭法與圓周率的舊書合上。
“當然，在去往那個世界之前，還需要先打敗畢達哥拉斯。”
阿基里斯胸前那枚被改造成螺旋鑽頭狀的粉白色鑰匙緩緩漂浮而起，在那表面的螺旋狀花紋中，佈滿了密密麻麻的數字。
那是無限循環的0.99……，在螺旋的頂部，這個無限小數有了一個確切的末尾，表明它在經過無限次計算以後，結果精確的等於1。
“第一次數學危機帶來的結果就是不可數盡的無窮小數，現在你已經明白了無理數是什麼。”
“這枚螺旋鑰匙已經容納了一個完整的無窮序列，它被改造成了一臺芝諾機，能完成無限次步驟的計算，具備實在無窮的力量。”
“芝諾機是超圖靈機的其中一種類型，有關於圖靈機和超圖靈機的力量層級，理解它們需要等到第三次數學危機以後。”
“人類數學的發展史就是研究無窮的歷史，三次數學危機都與無窮有關，理解了這三次危機，你才能理解無窮和連續統究竟是什麼。”
阿基里斯伸手握住眼前這枚粉白色的螺旋鑰匙，眼前看到的視野瞬間被擴張到一個自己難以形容的狀態。
她看到了一個平坦的平面上兩條無限延伸的平行線在無窮遠處交匯在同一點。
她看到了日取其半、萬世不竭的木棍在無窮次切割後被找到了不可分割的基本組成部分。
無限可分的微觀世界在這一瞬間不再無窮無盡，只存在於形而上的理念世界中的實無窮似乎突然變成了直觀可見的清晰模樣。
就像是隱藏在0.99……無限循環的終點處那個最簡單的1一樣，在抵達無窮的那一刻，難以理解的複雜事物突然變得完美而簡潔。
於是，阿基里斯的眼中倒映出隱藏在那個微觀世界裏晦暗不明、變換不定的陰影。
這個變換不定的陰影像是藏在深淵縫隙之中長着纖長觸鬚的頭足類生物。
那無數纖細的觸鬚從深淵中探出，連接在其他的無數生物身體上，汲取着他們的力量。
這團陰影很小很小，那些纖細的觸手更是遠遠小於上層世界的最小量子泡沫。
但它擁有的力量卻恰恰相反。
就像是傳說中的奇點一樣，這個隱藏在黑暗深淵間隙中的微小生物，掌握着遠超那些大體型生物的力量。
“那就是畢達哥拉斯？”
她心中有些喫驚，那個如同幽魂一樣的可怖陰影看起來並不比之前被她喫掉的那隻莎布尼古拉斯好看多少。
比起她手中掌握的完美而簡潔的實無窮，似乎這個還侷限在有限世界裏的畢達哥拉斯更爲可怖和不可名狀。
“無限的事物未必比有限的更復雜，人類研究無限宇宙找到的規律正是那些最簡潔最美麗的。”
“畢達哥拉斯已經走上了錯路，變成了尋找無窮之路上的一隻怪物。”
“幹掉他，或者喫掉他，然後我們就去下一站。”
李恆看着那團在深淵中蠕動的黑暗陰影，即使是這個世界裏的神聖兄弟會，也想不到他們的領袖已經變成了這種不成人形的醜陋怪物。
兩人之前遇到的那隻營養是中子星三十二億倍的莎布尼古拉斯並不是偶然。
那隻不太可愛的小生物就是受到畢達哥拉斯的意志影響而誕生的東西。
在古希臘人的認知裏，無窮是充滿混亂的、不可理解的東西。
所謂無理數，就是不符合人類理性的數字。
這種認知在畢達哥拉斯尋找無窮的過程中化爲了堅不可摧的信念。
它塑造了這個不允許無窮存在的世界，一個永遠被困在第一次數學危機中的世界。
同時，因爲自身的這種信念，在尋找無理數的過程中，畢達哥拉斯本人也隨着越來越靠近無窮變成了這種不成人形的詭異模樣。
雖然稱不上是不可名狀，但卻很符合人類眼裏的古神形貌。
“喫？”
阿基里斯回憶了一下那莎布尼古拉斯烤焦雞蛋的味道，微微搖了搖頭。
她舉起手中那枚粉白色的螺旋狀鑰匙，將它像是鑽頭一樣輕輕旋轉。
螺旋鑰匙的尖端位置，那個沒有大小的點以無窮的力量破開了層層阻隔，將無限可分的有理數世界瞬間切割到盡頭。
無盡的世界在這一刻被切割破碎，畢達哥拉斯扭曲的身影消失無蹤，在無窮小的世界盡頭，顯現出無盡燦爛的光輝。
阿基里斯在這片純淨的白色光輝中微微眯起眼睛，她看到了兩道相對而立的身影。
他們穿着黑色的西裝，頭上有波浪般捲曲的白色假髮，手中持有棕色的柺杖，正在激烈地爭吵着什麼。
“牛頓和萊布尼茨，這個世界的統治者，爲了微積分的發明權吵得不可開交。”
李恆隨意地揮了揮手將這兩道在光輝中爭吵的人影拍散。
“看起來，似乎沒什麼不同？”
阿基里斯仔細地觀察着眼前這個對應着無理數的世界。