作者：胖胖的小橘
你的迴圈權重得“溫和”。
你的邊界條件得“光滑”。
你的迭代步長得“小心”。
每一條都對，每一條都不頂用。
業內私底下管這一段叫：
“迴圈Tikhonov的鬼打牆”。
跨過去就是頂刊。
跨不過去就是廢稿。
至於“那一道牆在哪兒、為什麼會撞上”
三十年來，沒有任何一個人正經地把這東西從原理上剖開過。
哥本哈根、蘇黎世、普林斯頓都有人嘗試過。
最接近“統一刻畫”的，是1998年霍夫曼和陶滕漢的一篇論文，他們給出了一組充分條件，證明在那一組條件下小技巧是穩的。
可那一組條件太苛刻了。
苛刻到幾乎沒有真實的工程問題能滿足。
業內的人後來嘲笑那一篇論文。
“這相當於告訴你，只要太陽從西邊出來，那這個小技巧就一定管用。”
恩格爾哈特的那一篇論文裡就用了這一段小技巧。
不光恩格爾哈特用了。
整個Tikhonov這一行公開發表的論文裡，從1993年到現在，但凡涉及到帶迴圈權重的方案的，十有八九都在某個角落裡頭掛上了這一段小技巧。
每一個用上的人，心裡頭其實都打鼓。
他們只能祈丁�
三十年了。
整一行人，靠“祈丁眽褐@一段過日子。
恩格爾哈特祈冻晒α恕�
至少，他自己以為成功了。
拉斯·維根納翻到Comment的第二節。
第二節的標題是——《偽收斂錨的判據》
拉斯·維根納的呼吸一下就停住了。
“他要解剖這個技巧？”
果然，這一節裡面李東告訴了大家怎麼判斷……
什麼樣的迴圈權重，配合什麼樣的邊界條件，會讓這一檔迭代陷入一種“偽收斂”的穩定態……
每一步殘差都在下降，每一步相位約束都滿足，每一步看上去都在朝著真解逼近……
可它根本不是在朝真解走，它會陷在一個固定的區域性停滯點上面。
李東給這個停滯點起了一個名字——【偽收斂錨】。
判據本身只有三行式子：
第一行：迴圈權重的某一階導數在邊界附近的區域性行為，寫成一個具體的形式。
第二行：把這個形式代入迭代咚阍崛〕鲋鲗ы椦e的一個係數。
第三行：當這一個係數落在某一個具體的開區間裡時【迭代被錨定】！
落在區間外【迭代正常收斂】。
三行式子，把“鬼打牆”這一段從1993年壓到現在的三十年懸案，乾乾淨淨地講明白了。
拉斯·維根納從椅子上半站了起來。
這……這他孃的就是答案？
就這麼簡單？
他重新抬起頭，看看向螢幕。
李東在Comment的最後只留了一段小注。
“這個判據，給出的是‘什麼時候偽收斂錨會出現’的充分必要條件。”
“在判據成立的情形下，迭代的視覺表現和真正的收斂幾乎不可區分，除非有人事先知道真解。”
“作者建議這一行的同行，今後凡涉及帶迴圈權重的迭代方案，請在論文中顯式地驗證本判據，以避免不必要的爭議。”
這只是一段建議。
它並沒有點任何人的名
可這一段建議就掛在恩格爾哈特那一篇論文下面。
所以……恩格爾哈特那一篇論文，要按李東的判據驗一下嗎？
毫無疑問，肯定是要驗的。
結果嘛……自然是這篇論文不成立！
拉斯·維根納放下手裡的筆，心裡頭默默地罵了一句。
“操。”
……
李東這一篇Comment掛在arXiv上頭不到二十四個鐘頭。
整個圈子炸了。
掛到第二天早上九點。
第一個公開轉發的人，是杜倫大學的傑克·薩頓。
這位是反問題這一行下一代裡最拔尖的幾個人之一。
薩頓在自己X賬號上貼了一篇PDF的連結。
只配了一句話。
“我推到第十二步，每一步都對，鬼打牆被剖開了。”
掛出來不到一個鐘頭，轉發數就破了一千。
緊接著是阿姆斯特丹的布拉姆·德弗里斯。
他貼出來一張手寫稿的照片。
是他自己昨晚通宵推下來的、關於李東判據的另一種等價形式。
他配的那一句話比薩頓還狠。
“如果李是對的，過去三十年裡有相當一批文章需要重新走一遍這個判據。”
緊接著是普林斯頓、是ETH、是斯坦福、是ICTP……
每個人都貼出來一份自己手算的稿子。
掛到第二天下午。
轉發數破了兩萬。
數學這一行裡，能在二十四小時之內把轉發數堆到兩萬的Comment，這是頭一次。
可圈子裡頭炸歸炸，爭議也來了。
有幾位老資格，吃Tikhonov這一行的飯吃了三十年的人，開始公開質疑這一篇Comment。
第一位站出來的，是哥本哈根的埃裡克·林德格倫。
他在LinkedIn上面掛了一篇長文。
意思很清楚。
第一，李的判據，給出的是一個“開區間”。
開區間這種東西，在工程實踐中是非常脆弱的。
稍微改一下邊界條件的離散化方式，係數就跳出去了。
所以，這個判據“在數學上”也許是對的，但是“在工程上”不一定真有指導意義。
第二，“偽收斂錨”如果真存在，那它是一個上世紀八十年代就該被發現的東西。
一個二十歲做純數學的孩子，今天才把它剖開。
林德格倫從經驗上不太相信。
第三，林德格倫建議大家先冷靜一下，等恩格爾哈特那一組人自己回應一下，再來下結論。
林德格倫這一篇掛出來以後，圈內立刻分成了兩派。
支援林德格倫的，是一批四五十歲、在Tikhonov這一行紮根多年的人。
他們的邏輯很樸素：
“我做了二十年沒搞懂的東西，你二十歲就剖開了？”
“我做了二十年都沒找出來的判據，你拍著腦袋就給我寫出來了？”
“憑什麼？”
“我不信。”
支援李東的，多是一批三十歲出頭的年輕人，外加幾位真正啃過《非標準本徵值問題的譜方法》第六章每一行的老前輩。
這一波討論從arXiv吵到了X，吵到了MathOverflow，吵到了幾個反問題領域的專業郵件列表。
吵了三天。
誰都沒有把誰說服。
第四天。
普林斯頓高等研究院。
彼得·薩納克的辦公室。
裡頭年近七十的老先生，正端著咖啡，在ipad上慢慢地看著李東那一篇Comment。
翻到最後一頁，他笑了一下。
“這小子，明明都不在應用數學這一行裡面，就搞出了這麼的大的動靜”
“這下迴圈Tikhonov這事……恐怕以後不叫鬼打牆了，應該叫李判據咯。”
……
李東這一篇Comment還在往外炸。
第五天上午。
倫敦，IOP出版集團總部。
《Inverse Problems》編輯部，副主編辦公室。
副主編瑪麗亞·托雷斯的臉色不太好看。
她面前的桌上放著著兩份東西。
一份是恩格爾哈特那一篇的清樣。
一份是李東那一篇Comment的列印稿。
旁邊坐著的，是這本期刊的幾位編委。
刊物自己請的兩位獨立外審專家也來了。
他們已經在這間屋子裡頭坐了兩個鐘頭。
李東那一個判據，他們一行一行驗過了。
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