作者：橘子汽水西瓜味
“我想要試着親身體會你感受到的那種感覺，想要看一看這個黑暗的未知世界究竟是什麼模樣。”
“嗯，我已經決定了，在那億萬紀元的枯燥數數中，我已經想清楚自己想要的是什麼了。”
不可知的混沌世界中，李恆沒有再繼續勸告，只是表情冷淡地微微頷首，接着言簡意賅地道：
“如你所願。”
一個白色的圓環出現在這個世界中，它將周圍那不可直視的混沌排開，展現出自身那圓滿無缺、無缺無漏的光滑形狀。
數學意義上理想的圓。
一個容納着實數連續統的圓環，代表着不可數無限集合阿列夫一的龐大力量。
“它看起來很好喫。”
阿基里斯望着這個無缺無漏的完美圓環露出了笑容。
人都是會改變的。
以前的她只是喫烤牛排和糖葫蘆就能滿足，後來的她喫到了營養更豐富的莎布尼古拉斯和康托爾的紅棗。
現在她對食物的要求進一步提高了，她想要和李恆喫一樣的食物。
一個容納着實數連續統的完美圓環，以此作爲她生命最後的終極美食。
完美的白色圓環緩緩飄起，落到了阿基里斯的頭上，恰到好處地與她頭頂上的那根呆毛碰到了一起，像是一個白色日光燈圈一樣穩穩地掛在那裏。
片刻以後，阿基里斯眨巴了兩下眼睛，一臉疑惑地問道：
“奇怪，我已經觸碰到了連續統，怎麼還活着呢？”
她還以爲自己的故事應該到這裏就結束了，就像那三次數學危機一樣。
“誰跟你說到此爲止了？”
“三次數學危機結束，又不是連續統問題的結束。”
李恆用看傻子的眼神看着她。
“我們討論的一直都是連續統問題，而不是數學史，只不過正好這歷史上的這三次數學危機都與連續統問題有關而已。”
那你剛剛還一本正經地做出一幅交代後事的模樣！
阿基里斯被這看傻子的眼神看得有些尷尬，心中一陣無語。
那一大堆講人生觀、價值觀的大道理說出來，怎麼想都是要讓她做出最後的選擇了吧。
虧她還覺得自己以一個完美的圓作爲生命最後的終極美食很浪漫呢。
抬手摸了摸腦袋上掛着的日光燈圈，指尖感受着那完美無缺的光滑觸感，阿基里斯問道：
“所以，我腦袋上掛着的這玩意是個假的圓？”
好像確實有些不太一樣。
她沒有從這東西上感受到李恆身上特有的那種“人類願望的終極集合”的神奇吸引力。
雖然這個圓環的確比她之前見過的一切事物都更完美，但似乎還不夠完美。
李恆沒有直接回答，他手掌一翻，掌心中出現了一塊顏色紅潤的切片香腸。
“不可定義數，是指無法用有限的字符進行準確定義的數。”
“關鍵不僅在於有限，更在於準確定義的概念，也就是能給出一個具體確定的算法。”
“即使這種算法不可能在圖靈機上用有限的時間咝型戤叄凶艧o限的算法複雜度。”
“在處理根號2和π等等可計算的無理數時，雖然無法具體知曉這些無限不循環小數的每一位數字，但卻能給出具體計算的算法。”
“因此可以認爲，這些數字是完全確定的，將它們壓縮成一個簡單的算法沒有任何的信息損失。”
“但是，真正處理現實世界時，幾乎不會有這種理想的確定狀況。”
“在面對太過複雜的事物時，爲了得出有意義的結論，人類不得不放棄這種完全確定的精確性。”
“舉個例子，理論上只要有了皮亞諾公理的基礎規則，就能以此計算出全體自然數，得到自然數世界一切可能的情況。”
“它可以推出牛頓力學、量子力學和廣義相對論，也可以推出薛定諤波動方程。”
“利用薛定諤波動方程，又可以計算原子的核外電子軌道，以此計算所有物質的化學性質。”
“有了所有物質的化學性質，又可以推出所有蛋白質、基因、細胞的咿D方式。”
“然後，又可以在此基礎上推出世間一切生物的情緒與思想，從而預測智慧生物和文明的軌跡。”
阿基里斯聽明白了，這說的不就是理想中的拉普拉斯妖麼。
從一個簡單的規則出發，計算出這個規則體系下的一切可能性。
但實際上這根本不可能做到，只有無限算力的超圖靈機才能做到這種事。
“我們之前討論的不可知，是以準確定義爲前提的。”
“理想狀態下的圖靈機並不考慮宇宙資源有限、人類文明毀滅、宇宙熱寂等等限制狀況。”
“不可計算與不可定義數的存在表明的結論是，即使將條件放寬到人類不受資源和時間限制的狀況下，也有一些知識是人類永遠無法具體知道的。”
“但這不代表有限的人類對那個黑暗未知世界一無所知了。”
“比如說，知道有哪些知識是人不可能知道的，這也可以算是一種知道。”
『知道』和清晰明瞭的『理解』是不一樣的，清晰明瞭的理解和計算出一切可能性的『全知』也是不一樣的。
不可定義數只是否定了有限的人類全知的可能，它只不過是讓人類又回到了那個處處受限的世界裏。
阿基里斯頭上的呆毛轉動了兩下，帶動着那個完美的白色圓環像是蚊香圈一樣上下晃動。
“我懂了，我們之前討論的東西就好像是讓一個懂漢字的人寫出所有的詩詞歌賦一樣。”
“就算這個人對漢字十分精通，人類大腦的限制也不可能允許他做到這種事。”
“想要研究那些未知世界，必須損失精確的確定性。”
“雖然有限的人類不可能具體地描述那些不可定義數，但這不代表人類就對不可數無限集合一無所知了。”
超圖靈機的這種『全知』只是理想狀況，處處受限的狀況才更符合人類認知客觀世界的思想。
人看書時看到的每一個文字都是由億萬個原子構成的複雜結構。
但人腦每秒只能接收不到10^8比特的信息，主觀意識到的部分更是隻有其中的百萬分之一，不過區區十個漢字的信息量。
作爲有限的人，只能用自己狹窄的視野觀察到世界有限的一小部分，並從其中找到對自己有意義的那些信息，不可能看到全部的世界。
對事物進行概括性的抽象總結，忽略大部分細節，只關注其中的一小部分信息，這纔是人類大腦天生的本能。
只不過，面對着不可數無限集合，人類忽略的信息遠比億萬個原子的細節要多得多。
做個類比的話，有限的人類就像是一個只有一秒鐘記憶的人，最多隻能記住十個字的信息量。
這麼點信息量，也就只能看個書名，連簡介都看不完。
《石頭記》和《紅樓夢》是同一本書，但只看書名哪裏能明白。
“連續統問題是一個不可判定問題，它與人類常用的集合論公理相互獨立。”
“對於有些人來說，得出這個結論就足夠了。”
“既然已經確定了連續統問題不可判定，那就沒有什麼繼續研究的意義。”
“所謂的實數、微積分、連續統都不過是人類設計的符號，沒有什麼客觀對應的東西。”
“有些人則不然，比如哥德爾就不這樣認爲。”
“他是一個柏拉圖主義者，認爲集合論概念和定理描述了一個完全確定的實在，在其中連續統假設一定是或真或假。”
“源於已接受公理的對它的不可判定性，只能意味着這些公理沒有完備地描述那個實在。”
“從已接受的集合論公理出發得到的不可判定性的證明，絕不是問題的解決。”
這就是哥德爾綱領，它帶來了所謂的內模型計劃，傳說中的終極L。
在人類普遍接受的集合論公理體系中增加新的公理，將模型擴充，從而在更大的模型中解決那些原來不可判定的問題。
這一綱領的關鍵不僅在於集合論公理的擴張，更在於這種擴張的唯一性要求，認爲連續統只有一個唯一確定的基數。
“除此之外，對連續統問題的解答還有另一種想法，連續統在不同的數學體系中有不同的基數。”
“這就是集合論多宇宙觀的立場。”
“這一觀點認爲，集合論發展的現實表明，實在論者所期望的連續統問題的理想解決方案已經不可能了。”
“集合論更應該着眼於探求各種獨立性命題在哪些集合論宇宙中是如何成立的，以及這些集合論宇宙之間的關係。”
李恆拋起手中的那塊切片香腸，將它放到眼前，看着它上面如同恆星噴流的花紋笑了笑道：
“無論是哪一種觀點，有限的人類所能真正看見的都只是一塊切片香腸。”
“他們無法確定自己研究的到底是一塊香腸，還是一顆看起來長得很像香腸的恆星。”
阿基里斯看着那塊香噴噴的香腸切片，她發現這塊香腸的確和恆星長得很像。
在研究不可數無限集合的時候，無法像是觀察宇宙中的恆星一樣，做到越來越精確的觀察，得到更多的具體信息。
因此也就無法確定自己看到的到底是一塊切片香腸，還是來自一顆宏偉恆星的遙遠投影。
“你是什麼想法？”
既然他的身體容納着連續統，那麼他應該可以做到判定連續統的基數大小。
李恆轉頭看向阿基里斯。
“我的想法？”
“終極L具有種種良好的性質，它精確，完美，很符合人類眼中的優雅美麗。”
“但在我看來，這種完美就和經典力學中萬物可計算的完美一樣，太過確定了。”
“正如我一直跟你說的，所有的可能性都發生了。”
“這種多元宇宙的世界觀在物理世界中成立，在數學世界中也成立。”
“我並不贊同哥德爾的立場，認爲連續統具有唯一確定的基數。”
說罷，他伸手從阿基里斯的脖子上摘下那枚粉白色的螺旋狀鑰匙，將那看不到大小的尖端指向了她腦袋上戴着的完美白色圓環。
“記得我一開始跟你說過的嗎？這個世界裏沒有人能追得上芝諾的龜。”
“就算是這個容納了不可數無限集合，擁有着阿列夫一力量的圓環，同樣也不行。”
粉白色的螺旋鑰匙尖端與完美的白色圓環碰撞到了一起。
咔嚓！
清脆的碎裂聲在這片不可知的混沌世界中炸開，完美的白色圓環突然斷裂，瞬間收縮成一個看不到大小的小點。
“在這個世界裏，連續統的基數不是阿列夫一。”
第725章 追不上的烏龜
連續統的基數不是阿列夫一。
阿基里斯回憶着之前那張紙上列舉着超圖靈機力量層次的圖靈度層級，表情疑惑地問道：
“可是，之前在那張圖表上，你不是在無限時間圖靈機的下方劃了一條線，並且寫下了實數連續統嗎？”
在那張圖靈度層級的圖表上，所有的超圖靈機都屬於可數無限的層次，唯有最末尾的實數連續統是不可數無限。
這樣看來，康托爾的連續統假設在這個世界裏應該是成立的。
自然數集合的冪集，全體實數構成的集合，全體可數序數構成的集合，三者的基數都是不可數無限N1。
“不，等等，我好像明白了！”
阿基里斯看了眼自己腦袋上頂着的那個日光圓環散發的白光，突然反應了過來。
“你在那張紙上寫的是實數連續統，而不是連續統。”
“你的意思是說，在這個世界裏，即使是所有的實數，依然無法填滿整條數軸？”
李恆點點頭道：
“不錯。”
“其實這也不難想到，第二次數學危機就是實無限和潛無限的混亂帶來的危機——更準確的說，是無窮小量和0之間的矛盾。”
“萊布尼茨就在自己的微積分中使用了實無窮小，這也是貝克萊主教攻擊微積分理論基礎的主要方向。”